2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функ. ан., норма функционала
Сообщение27.12.2010, 14:18 
Аватара пользователя
Дан функционал, действующий в $C[0,2]$
$$F(y) = \int\limits_0^2 (x-1)y(x)dx$$
нужно найти норму функционала
оценку сверху получил, равна единице, как получить оценку снизу?

$C[0,2]$ - пр-во непрерывных функций на отрезке $[0,2]$ с нормой $\|y(x)\| = \max\limits_{0 \geq x \geq 2} |y(x)|$

 
 
 
 Re: Функ. ан., норма функционала
Сообщение27.12.2010, 14:25 
Все просто - функционал линейный следовательно его норма это максимальное значение на функции норма которой равна единице, таким образом надо выбрать так y(x) из класса что бы максимизировать интеграл

 
 
 
 Re: Функ. ан., норма функционала
Сообщение27.12.2010, 14:32 
BapuK в сообщении #392318 писал(а):
Дан функционал, действующий в $C[0,2]$
$$F(y) = \int\limits_0^2 (x-1)y(x)dx$$
нужно найти норму функционала
оценку сверху получил, равна единице, как получить оценку снизу?

$C[0,2]$ - пр-во непрерывных функций на отрезке $[0,2]$ с нормой $\|y(x)\| = \max\limits_{0 \geq x \geq 2} |y(x)|$

Рассмотрите значения функционала на последовательности непрерывных функций, поточечно сходящейся к $sgn(x-1)$.

-- Mon Dec 27, 2010 15:34:27 --

ewert в сообщении #392323 писал(а):
надо показать, что оценка сверху достигается

это неверно

 
 
 
 Re: Функ. ан., норма функционала
Сообщение27.12.2010, 14:37 
moscwicz в сообщении #392322 писал(а):
это неверно

тогда уж, между прочим, и поточечной сходимости недостаточно

 
 
 
 Re: Функ. ан., норма функционала
Сообщение27.12.2010, 14:45 
разумеется, только это пусть додумывает топикстартер

 
 
 
 Re: Функ. ан., норма функционала
Сообщение27.12.2010, 15:33 
Аватара пользователя
Рассмотреть последовательность функций
$$y_n = \left\{\begin{array}{1} 
-1,\,\, x \in [0, 1 - \frac{1}{n}] \\
n(x - 1),\,\, x \in (1 - \frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}) \\
1,\,\, x \in [1 + \frac{1}{n}, 2]
\end{array} \right$$
будет достаточно?

-- Пн дек 27, 2010 23:02:07 --

показываем, что $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} F(y_n) = 1$, и в силу того, что $\|y_n\| = 1$ и $\|F\| \leq 1$, получаем, что $\|F\| = 1$, правильно же? а то в первый раз решаю такого рода задачу :roll:

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group