Помогите найти длину

[Ummagumma]

Собственно, хотел я найти, для себя, формулу длину синусоиды. Но не знаю, как взять интеграл ∫sqrt(1+(a*cos(b*x))^2)dx; Подскажите, как быть? Берущийся ли это интеграл или стоит прибегать к рядам?

И еще, правильно ли я нашел длину параболы y=a*x^2 ?
У меня получилось:
$L = (2axU + ln(U+x))/4a;$
$U= sqrt(4a^2x^2+1);$

[Утундрий]

Ummagumma в сообщении #389257 писал(а):

Берущийся ли это интеграл или стоит прибегать к рядам?

Сводится к эллиптическому.

[Ummagumma]

Цитата:

Сводится к эллиптическому.

упс) мне до него еще далеко.
Обычным интегралом значит нельзя?

[paha]

Ummagumma в сообщении #389257 писал(а):

Собственно, хотел я найти, для себя, формулу длину синусоиды.

на каком промежутке?

[Gortaur]

Видимо, на произвольном. Ummagumma, эллиптический интеграл - это обычный интеграл (просто от определенного вида функций), но не берущийся. Это значит, что его значение в каждой точке нельзя посчитать аналитически. С другой стороны, есть шанс что в определенных точках Вы можете посчитать его аналитически - с этим и связан вопрос пользователя paha

[Алексей К.]

Ummagumma в сообщении #389257 писал(а):

И еще, правильно ли я нашел длину параболы y=a*x^2 ?
У меня получилось:
$L = (2axU + \ln(U+x))/4a;$
$U= \sqrt{4a^2x^2+1};$
(Я позволил себе малость исказить цитату: палочки поставил перед sqrt{...} и ln. -- АК)

Очевидно, неправильно. У Вас под логарифмом сумма безразмерной величины $U$ и длины $x$. Было бы там хотя бы $ax$, пришлось бы дальше копать-проверять.
А так --- устно видно.

[vvvv]

Возьмите интеграл численно.Или просто просуммируйте ломанную линию.Если у Вас, конечно, не академический интерес к этому вопросу
Например так. см.картинку.

[Ummagumma]

vvvv, Суммирование ломаной это не совсем то.. там для разных коэффициентов каждый раз длину придется заново пересчитывать. Просто я хотел формулу вывести, чтобы в школе на уроках можно было спокойно посчитать длину синусоиды/косинусоиды.

Алексей К.,
для параболы брал по частям:
$L = \int \sqrt{1+4a^2x^2}dx = x\sqrt{1+4a^2x^2} - \int \frac{4a^2x^2 + 1 - 1}{\sqrt{1+4a^2x^2}}dx =$
$= x\sqrt{1+4a^2x^2} - L + \int \frac{1}{\sqrt{1+4a^2x^2}}dx; $
Но похоже, я что-то напутал в последнем интеграле: не пойму сейчас, от куда у меня взялся логарифм. dx/x никак не получается =(

Gortaur, я не совсем понял: незьзя посчитать аналитически - имеется ввиду, что нельзя представить в виде конечной суммы? И его можно аналитически посчитать только в интервалах между определенными точками?
Извиняюсь за свою невеждливость, просто при самостоятельном изучении тем как-то пропускаешь некоторые нюансы, которые могут оказаться важными в дальнейшем.

[paha]

Ummagumma в сообщении #390827 писал(а):

$L = \int \sqrt{1+4a^2x^2}dx = x\sqrt{1+4a^2x^2} - \int \frac{4a^2x^2 + 1 - 1}{\sqrt{1+4a^2x^2}}dx =$
$= x\sqrt{1+4a^2x^2} - L + \int \frac{1}{\sqrt{1+4a^2x^2}}dx; $
Но похоже, я что-то напутал в последнем интеграле: не пойму сейчас, от куда у меня взялся логарифм. dx/x никак не получается =(

последний интеграл табличный и равен $\frac{1}{2a}\ln(2ax+\sqrt{1+4a^2x^2})$

Ummagumma в сообщении #390827 писал(а):

незьзя посчитать аналитически - имеется ввиду, что нельзя представить в виде конечной суммы?

Gortaur имел ввиду, что первообразная не выражается в элементарных функциях

[Ummagumma]

paha в сообщении #390842 писал(а):

последний интеграл табличный и равен $\frac{1}{2a}\ln(2ax+\sqrt{1+4a^2x^2})$

точно. тогда действительно у меня была ошибка в коэффициенте перед х.

получается, кривая параболы, при а=1, на участке 0..1 длиннее диагонали в 1,04577.. раз; это больше похоже на правду. =)

(Оффтоп)

Вопрос: как увеличить шрифт формулы?

Цитата:

Gortaur имел ввиду, что первообразная не выражается в элементарных функциях

тогда понятно. получается, я смогу взять интеграл только на определенных участках. в других случаях он получится неберущимся.

а как приближенно считать не берущиеся интегралы?

[paha]

Ummagumma в сообщении #390993 писал(а):

длиннее диагонали

у параболы нет диагоналей... разве что хорды

[Алексей К.]

Ummagumma в сообщении #390993 писал(а):

а как приближенно считать не берущиеся интегралы?

Поскольку речь вряд ли идёт о численном интегрировании, то первое, что (мне) приходит в голову --- разложение подинтегральной функции в ряд (но я с этими штуками не сталкивался).

[paha]

Алексей К. в сообщении #391052 писал(а):

разложение подинтегральной функции в ряд

эйлер-маклорен, разумеется, точнее

[Алексей К.]

Ummagumma в сообщении #389257 писал(а):

Собственно, хотел я найти, для себя, формулу длину синусоиды.

Пятница, вечер... Я попытаюсь... Вам доказать? ... убедить Вас в том, что..?
что Вы поставили перед собой совсем неинтересную задачу, и получили совсем неинтересный ответ на неё.

Подобные соображения я уже высказывал на форуме; более того, ко мне как бы присоединился один из модераторов. Но я не буду искать его или моих предыдущих постов, выскажусь заново.

Курица --- не птица, синусоида --- не кривая!
Искать длину синусоиды --- мартышкин труд. Не надо этого делать!
Синусоида обычно --- график некой функции. Например, $I_{\text{ток}}=A\sin(\omega t)$. И что у нас будет длиной дуги графика $I(t)\equiv y(x)$? Нечто типа $\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{\text{сек}^2+\text{ампер}^2}\;\strut$? Фу, какая глупость! А перейдём на часы и милиамперы --- и длина дуги "принципиально" изменится?

Хорошо, пусть не ток/напряжение как функция времени, а что-то другое. Может, тогда получится что-то поприличнее, геометрически более осмысленная модель? Ну, давайте придумаем процесс вроде $y(x)=R\sin\frac{x}R$. Придумаем не эту тупую формулку, а реальный процессик, под данную формулу укладывающийся. Мне, признаться, не удалось. Луну вокруг Земли покрутил --- нету, ещё чего-то попробовал --- нету. Надо было, видимо, призвать на помощь grisа, но я до этого сразу не допёр.

Ну ладно, возьмём "реальную кривую", не "график функции". И что, сразу всё будет клёво интегрироваться? В элементарных функциях?
Нет, конечно. Возьмём банальный эллипс, который обычно выступает как кривая, и иногда как "график". Даже для него длина кривой сводится к эллиптическим функциям.
Но, заметим, --- продвинутые справочники по математике приводят для длины дуги эллипса и точную формулу (в терминах эллиптических интегралов), и формулу приближённую. Но им не приходит в голову приводить что-то подобное для синусоиды.

Понимаете, Ummagumma, я бы не позволил себе обозначить Ваш интерес к длине кривой как "на самом деле неинтересно" (или бессмысленно), если бы речь шла о какой-нибудь брахистохроне, трактрисе, конике, циклоиде, и прочая. Меня именно сиснусоида напрягла.
Заинтересуйтесь кем-нибудь другой.

[vvvv]

Алексей К., зачем такие длиноты.Неужели Вам не известно, что если плоскость, на которой изображен график синусоиды изогнуть
в цилиндр с осью параллельной оси Y, то синусоида превратится в эллипс.Задача нахождение длины синусоиды и эллипса эквивалентны -
сводится к эллиптическим интегралам.Мальчик этого еще не знает.