Оптимальное управление

[Nimza]

Задача следующая.
Для линейной системы $\dot x = Ax(t) + Bu(t), t \in [t_{0}, t_{1}] $, найти оптимальную траекторию $x^{*}(t)$ и оптимальное управление $u^{*}(t)$ в задаче перехода из точки $x^{0}$ в точку $x^{1}$ при

$$ J = \mathop{ess\:sup}\limits_{t \in [t_{0}, t_{1}]} | u(t) | \to \mathop{min}\limits_{u(\cdot)}.$$

В задаче $t_{0} = 0, t_{1} = \log 2$.

$$ A = \left[ \begin {array} {rl} -2 & 1 \\ -6 & 3 \end {array} \right],\;\;\; B = \left[ \begin {array} {r} 2 \\ 3 \end{array} \right], \;\;\; x^{0} = \left[ \begin {array} {r} 3 \\ 2 \end {array} \right],\;\;\; x^{1} = \left[ \begin {array} {r} 2 \\ 2 \end {array} \right]. $$

Моё решение.
По формуле Коши

$$ x(\log 2) = e^{A \log 2} x^{0} + \int\limits_{0}^{\log 2} e^{A (log2 - \tau)} B u(\tau) d\tau. $$

После вычисления матричной экспоненты и упрощений получается

$$ x(\log 2) = \left[ \begin {array} {r} -1 \\ -10 \end {array} \right] + \int\limits_{0}^{\log 2} \left[ \begin {array} {rcl} 3 & - & 2e^{-\tau} \\ 6 & - & 6e^{-\tau} \end {array} \right] u(\tau) d\tau. $$

После скалярного умножения на $l$ получается

$$ <l,x(\log 2)> = -l_{1} - 10l_{2} + \int\limits_{0}^{\log 2} \left( \left( 3 - 2e^{-\tau} \right) l_{1} + \left( 6 - 6e^{-\tau} \right) l_{2} \right) u(\tau) d\tau. $$

Предполагая, что

$$ \mathop{ess\:sup}\limits_{t\in [0, \log 2]} | u(t) | \leq \mu $$

и переходя к супремуму по $u(\cdot)$, получаем

$$ \rho (l | X [\log 2]) = -l_{1} - 10l_{2} + \mu \int\limits_{0}^{\log 2} \left| (3 - 2e^{-\tau})l_{1} + (6-6e^{-\tau})l_{2} \right | d\tau, $$

где $X[t]$ -- множество достижимости в момент времени $t$, а $\rho(\cdot | X[t])$ -- его опорная функция.
Критерий принадлежности точки $x^{1}$ множеству достижимости: $\rho(l | X[\log 2]) \geq <l,x^{1}>, \forall l$.
Учитывая всё это можно переписать:

$$ \mu \int\limits_{0}^{\log 2} \left| (3 - 2e^{-\tau})l_{1} + (6-6e^{-\tau})l_{2} \right | d\tau \geq 3l_{1} + 12l_{2}. $$

Теперь нам надо найти минимум интеграла. Так как неравенство положительно однородно по $l_{1},\: l_{2}$, то можно считать, что правая часть равна единице и тогда решать через функцию Лагранжа. Но проблема с вычислением интеграла. Уж слишком громоздко и на $l_{1}, l_{2}$ получаются трансцендентные уравнения, если подмодульное выражение меняет знак на $[0,\log 2]$. Подскажите, что делать?