Задача следующая.Для линейной системы
![$\dot x = Ax(t) + Bu(t), t \in [t_{0}, t_{1}] $ $\dot x = Ax(t) + Bu(t), t \in [t_{0}, t_{1}] $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/8/328b7a8eb39ada781d56757a8489fb3182.png)
, найти оптимальную траекторию

и оптимальное управление

в задаче перехода из точки

в точку

при
![$$ J = \mathop{ess\:sup}\limits_{t \in [t_{0}, t_{1}]} | u(t) | \to \mathop{min}\limits_{u(\cdot)}.$$ $$ J = \mathop{ess\:sup}\limits_{t \in [t_{0}, t_{1}]} | u(t) | \to \mathop{min}\limits_{u(\cdot)}.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/3/6535876e0785af326310f4c2f343e65682.png)
В задаче

.
Моё решение. По формуле Коши

После вычисления матричной экспоненты и упрощений получается
![$$
x(\log 2) = \left[
\begin {array} {r}
-1 \\
-10
\end {array}
\right] + \int\limits_{0}^{\log 2} \left[
\begin {array} {rcl}
3 & - & 2e^{-\tau} \\
6 & - & 6e^{-\tau}
\end {array}
\right] u(\tau) d\tau.
$$ $$
x(\log 2) = \left[
\begin {array} {r}
-1 \\
-10
\end {array}
\right] + \int\limits_{0}^{\log 2} \left[
\begin {array} {rcl}
3 & - & 2e^{-\tau} \\
6 & - & 6e^{-\tau}
\end {array}
\right] u(\tau) d\tau.
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/0/e404aae8664e8edec54bf880d17d9a0a82.png)
После скалярного умножения на

получается

Предполагая, что
и переходя к супремуму по

, получаем
![$$
\rho (l | X [\log 2]) = -l_{1} - 10l_{2} + \mu \int\limits_{0}^{\log 2} \left|
(3 - 2e^{-\tau})l_{1} + (6-6e^{-\tau})l_{2} \right | d\tau,
$$ $$
\rho (l | X [\log 2]) = -l_{1} - 10l_{2} + \mu \int\limits_{0}^{\log 2} \left|
(3 - 2e^{-\tau})l_{1} + (6-6e^{-\tau})l_{2} \right | d\tau,
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/8/7080bfb9d6567c17a5fd25841772976e82.png)
где
![$X[t]$ $X[t]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/d/2dd9f2c79a859ba55db865947261741582.png)
-- множество достижимости в момент времени

, а
![$\rho(\cdot | X[t])$ $\rho(\cdot | X[t])$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/2/ca25001011d55ec9033887ff0ccbca0a82.png)
-- его опорная функция.
Критерий принадлежности точки

множеству достижимости:
![$\rho(l | X[\log 2]) \geq <l,x^{1}>, \forall l$ $\rho(l | X[\log 2]) \geq <l,x^{1}>, \forall l$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/2/46228a2ad6839c5a218356d58412ce6182.png)
.
Учитывая всё это можно переписать:

Теперь нам надо найти минимум интеграла. Так как неравенство положительно однородно по

, то можно считать, что правая часть равна единице и тогда решать через функцию Лагранжа. Но проблема с вычислением интеграла. Уж слишком громоздко и на

получаются трансцендентные уравнения, если подмодульное выражение меняет знак на
![$[0,\log 2]$ $[0,\log 2]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/9/56976490a7626a73cc8e07260278ce4082.png)
. Подскажите, что делать?