Думаю, что и в гильбертовом можно. В гильбертовом пространстве

с ортонормированным базисом

рассмотрим подпространство

, которое является замкнутой линейной оболочкой векторов

и подпространство

которое является замкнутой линейной оболочкой векторов

Очевидно,

. Угол между пространствами

и

равен нулю. Значит оператор проектирования

на

параллельно

неограничен. Этот оператор наверное можно даже явно выписать. Значит тут всетаки в основе теорема Бэра-Хаусдорфа, а не аксиома выбора. А вот если потребовать еще и конечномерности образа оператора, тогда, да, только аксиома выбора. Забавно.