линейный оператор

[moscwicz]

интересно, а можно ли без леммы Цорна построить неограниченный линейный оператор $A:X\to Y$ при том, что $X$ -- банахово, а $Y$ нормированное линейное пространство?

[sup]

Для $f \in C[0,2]$ опеределим $\phi (f) = f'(1)$ или $\phi (f) = 0$, в зависимости от существования $f'(1)$.

-- Пт дек 24, 2010 10:19:16 --

Ой, глупость сморозил

-- Пт дек 24, 2010 10:20:32 --

Почему то решил по образу и подобию функции Дирихле.

[Хорхе]

На гильбертовом точно без аксиомы выбора не обойтись. А так... Думаю, лучше на mathoverflow спросить.

[moscwicz]

Думаю, что и в гильбертовом можно. В гильбертовом пространстве $H$ с ортонормированным базисом $e_1,e_2...$ рассмотрим подпространство $F$, которое является замкнутой линейной оболочкой векторов $e_1,e_3,e_5...$ и подпространство $V$ которое является замкнутой линейной оболочкой векторов

$$e_{2k}/k+e_{2k+1},\quad k=1,2,3...$$

Очевидно, $H=F\oplus V$. Угол между пространствами $F$ и $V$ равен нулю. Значит оператор проектирования $H$ на $V$ параллельно $F$ неограничен. Этот оператор наверное можно даже явно выписать. Значит тут всетаки в основе теорема Бэра-Хаусдорфа, а не аксиома выбора. А вот если потребовать еще и конечномерности образа оператора, тогда, да, только аксиома выбора. Забавно.

[Хорхе]

Хм, тут точно нигде аксиома выбора не использована?

-- Пт дек 24, 2010 11:36:43 --

moscwicz в сообщении #390868 писал(а):

которое является замкнутой выпуклой оболочкой векторов

Линейной?

[moscwicz]

Конечно линейной! Тьфу черт. Исправил

-- Fri Dec 24, 2010 11:44:39 --

Хорхе в сообщении #390876 писал(а):

Хм, тут точно нигде аксиома выбора не использована?

Смотрите сами, по-моему нет.

[Хорхе]

Собственно, вот статья, в которой доказано, что без аксиомы выбора не обойтись.

(Там, более того, доказано, что счетным выбором не обойтись.)

moscwicz в сообщении #390868 писал(а):

Очевидно, $H=F\oplus V$.

А, ну конечно. Как обычно, обман идет после слова "очевидно" .

[moscwicz]

Да ,действительно.

[AGu]

Среди статей, посвященных развитию и усилению результата,
ссылку на который привел Хорхе, есть и статья,
где дан ответ на первоначальный вопрос данного топика:

Chaim Samuel Honig. Functional analytic axioms and set theory
// Comp. Appl. Math. 1994. V. 13, N. 3. P. 205-213.

Без аксиомы выбора (даже с помощью аксиомы зависимого выбора)
невозможно доказать существование неограниченного линейного
оператора, определенного на банаховом пространстве.

[Хорхе]

А мужики-то и не знают... Спасибо за ссылку, AGu!

[moscwicz]

AGu в сообщении #390905 писал(а):

Среди статей, посвященных развитию и усилению результата,
ссылку на который привел Хорхе, есть и статья,
где дан ответ на первоначальный вопрос данного топика:

Chaim Samuel Honig. Functional analytic axioms and set theory
// Comp. Appl. Math. 1994. V. 13, N. 3. P. 205-213.

Без аксиомы выбора (даже с помощью аксиомы зависимого выбора)
невозможно доказать существование неограниченного линейного
оператора, определенного на банаховом пространстве.

Вы не могли бы указать точнее ссылку, непонятно, что такое Comp. Appl. Math.
Или, если возможно, пришлите мне эту статью: [e-mail]
Спасибо.

[RIP]

Статью можно почитать онлайн в Google books.