2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 третий закон Ньютона
Сообщение03.11.2006, 20:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
В формулировке 3-его закона Ньютона утверждается, что силы направлены по прямой, соединяющей точки? Или это можно вывести , используя 1-ый и 2-ой законы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.11.2006, 22:25 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Padawan писал(а):
В формулировке 3-его закона Ньютона утверждается, что силы направлены по прямой, соединяющей точки?


Нет, в III законе Ньютона утверждается другое -- то, что силы противоположны по направлению. Из этого не следует, что они направлены по прямой соединяющей центры тел, но в некоторых случаях это так.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.11.2006, 10:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Как тогда доказать закон сохранения момента импулься, пользуясь законами Ньютона?
Доказательства Ландау-Лифшица через функцию Лагранжа в принципе наим. действия кажутся сомнительными (изотропность пространства и т.д. )

Я говорил о материальных точках, а не о конечных телах. Случай протяженного тела сводится к случаю системы точек.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.11.2006, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Padawan писал(а):
Доказательства Ландау-Лифшица через функцию Лагранжа в принципе наим. действия кажутся сомнительными (изотропность пространства и т.д. )


А тут уж ничего не поделаешь: не будет изотропности пространства - не будет закона сохранения момента импульса.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.11.2006, 13:39 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Padawan писал(а):
Случай протяженного тела сводится к случаю системы точек


Разумеется, конечное тело можно рассматривать как систему материальных точек. Но даже в этом случае, условие того что сила направлена по прямой не входит в формулировку закона.

Ну а доказать средствами механики Ньютона, что импульс сохряняется, можно так
Из II закона Ньютона

$$
\left\{
\begin{array}{c}
\dot{\vec{p}}_1=\vec{F}_{12} \\
\dot{\vec{p}}_2=\vec{F}_{21}^{\mathstrut}
\end{array}
\right.
$$

Из III закона следует $\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=0$, поэтому $\dot{\vec{p}}_1+\dot{\vec{p}}_2=0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.11.2006, 14:23 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
А как доказать закон сохранения МОМЕНТА импульса? Хотя бы для системы двух мат. точек?

Из него самого следует, что силы должны быть направлены по прямой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.11.2006, 15:16 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Padawan писал(а):
Из него самого следует, что силы должны быть направлены по прямой


Да, в случае центральных сил момент импульса системы материальных точек сохраняется. Вообще из III закона Ньютона следует, что суммарный момент внутренних сил не зависит от выбора начала координат т.к.

$$\sum_{ik} \vec{F}_{ik}=0,$$

но Вы уверены, что для системы из $N>2$ частиц равенство

$$\sum_{ik}\vec{r}_i \times \vec{F}_{ik}=0$$

выполняется только для центральных сил?

Например, достаточно очевидно, что в случае $N=3$ момент импульса сохраняется и для
нецентральных сил, удовлетворяющих условию

$$
\vec{F}_{12}=\vec{F}_{23}=\vec{F}_{31}
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2006, 14:38 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Так как доказать закон сохранения момента импульса системы точек в механике Ньютона? Я не знаю. В учебниках пишется, что "суммарный момент внутренних сил равен 0" Но почему, если силы не центральные?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2006, 16:55 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Padawan писал(а):
Так как доказать закон сохранения момента импульса системы точек в механике Ньютона? Я не знаю. В учебниках пишется, что "суммарный момент внутренних сил равен 0" Но почему, если силы не центральные?


У учебниках пишут, что "суммарный момент внутренних сил равен 0". К этому приходят так:

$$
\dot{\vec{p}_i}=\sum_{k}\vec{F}_{ik}
$$

Домножаем вектороно на $\vec{r}_i$ и суммируем.

$$
\sum_i \vec{r}_i \times \dot{\vec{p}_i}=\sum_i \frac{d}{dt}\left(\vec{r}_i \times \vec{p}_i \right) -\sum_i \dot{\vec{r}}_i\times \vec{p}_i= \sum_{ik} \vec{r}_i \times \vec{F}_{ik}
$$

Так как $\dot{\vec{r}}_i$ и $\vec{p}_i$ сонаправлены, то $\dot{\vec{r}}_i\times \vec{p}_i=0$.
Значит

$$
\frac{d}{dt}\sum_i \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \sum_{ik}\vec{r}_i \times \vec{F}_{ik}
$$

Все дело в том, что закон сохраниния полного механического момента системы материальных точек формулируется так: полный мех. момент ($\sum_i \vec{r}_i \times \vec{p}_i$) сохраняется, если суммарный момент внутренних сил ($\sum_{ik}\vec{r}_i \times \vec{F}_{ik}$) равен нулю. Подразумевается, что силы именно такие, что сумарный момент внутренних сил равен нулю. При этом верно, что если силы $\vec{F}_{ik} \forall i,k$ центральные, то суммарный момент равен нулю, но обратное утверждение (Если суммарный момент ноль, то силы центральные) уже не строгое.

А в механике Ньютона полный момент импульса системы может и не сохраняться. То же самое можно сказать и про полную механическую энергию. Чтобы получить закон сохранения момента импульса или механической энергии нужна дополнительная информация о силах, которая не содержится в законах Ньютона.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2006, 19:26 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
В нескольких учебниках по физике, не заслуживающих особого доверия нашел:
1) В.М.Дерябин, В.Е.Борисенко Курс физики для химиков .Учебное пособие для студентов специальности "химия" университетов. - Издательство Красноярского университета, 1991.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Но в параграфе "Момент импульса. Закон сохранения момента импульса" сноска
* в механике Ньютона требование о равенстве нулю суммарного момента внутренних сил системы материальных точек принимается как постулат, дополнительный к законам Ньютона.
:)

2) под. ред. А.А.Пинского Физика. Учебное пособие для 10 класса школ и классов с углубленным изучением физики. М.:Просвещение, 1995.

тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной прямой. Эти силы равны по модулю, противоположны по направлению.

Что значит "направлены по одной прямой" не объяснено.

В параграфе "Вращательное движение тел" написано "...но сумма моментов внутренних сил равна нулю..." и не объяснено почему.


Придется брать нормальный университетский учебник.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2006, 20:38 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Вот что сказано в учабнике
Д. В. Сивухин, Общий курс физики. Механика. том 1, 1979 г., 520 стр.

стр. 64

Закон 3. Действию всегда есть равное и противоположное взаимодействие, иначе -- взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2006, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
В.И.Арнольд. Математические методы классической механики. Москва, "Наука", 1989.

Глава 1, § 2, пункт Д.
Глава 2, § 10, пункты А - В.

Переписывать всё - слишком много.

Рассматривается система материальных точек. В системе двух точек силы, действующие на эти точки, называются силами взаимодействия, если они равны по величине, действуют вдоль прямой, соединяющей точки, и противоположно направлены. Система точек называется замкнутой, если все силы, действующие на точки, являются силами взаимодействия. Законы сохранения импульса и момента импульса доказываются для систем, замкнутых в указанном смысле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group