третий закон Ньютона

[Padawan]

В формулировке 3-его закона Ньютона утверждается, что силы направлены по прямой, соединяющей точки? Или это можно вывести , используя 1-ый и 2-ой законы?

[Аурелиано Буэндиа]

Padawan писал(а):

В формулировке 3-его закона Ньютона утверждается, что силы направлены по прямой, соединяющей точки?

Нет, в III законе Ньютона утверждается другое -- то, что силы противоположны по направлению. Из этого не следует, что они направлены по прямой соединяющей центры тел, но в некоторых случаях это так.

[Padawan]

Как тогда доказать закон сохранения момента импулься, пользуясь законами Ньютона?
Доказательства Ландау-Лифшица через функцию Лагранжа в принципе наим. действия кажутся сомнительными (изотропность пространства и т.д. )

Я говорил о материальных точках, а не о конечных телах. Случай протяженного тела сводится к случаю системы точек.

[Someone]

Padawan писал(а):

Доказательства Ландау-Лифшица через функцию Лагранжа в принципе наим. действия кажутся сомнительными (изотропность пространства и т.д. )

А тут уж ничего не поделаешь: не будет изотропности пространства - не будет закона сохранения момента импульса.

[Аурелиано Буэндиа]

Padawan писал(а):

Случай протяженного тела сводится к случаю системы точек

Разумеется, конечное тело можно рассматривать как систему материальных точек. Но даже в этом случае, условие того что сила направлена по прямой не входит в формулировку закона.

Ну а доказать средствами механики Ньютона, что импульс сохряняется, можно так
Из II закона Ньютона

$$ \left\{ \begin{array}{c} \dot{\vec{p}}_1=\vec{F}_{12} \\ \dot{\vec{p}}_2=\vec{F}_{21}^{\mathstrut} \end{array} \right. $$

Из III закона следует $\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=0$, поэтому $\dot{\vec{p}}_1+\dot{\vec{p}}_2=0$.

[Padawan]

А как доказать закон сохранения МОМЕНТА импульса? Хотя бы для системы двух мат. точек?

Из него самого следует, что силы должны быть направлены по прямой.

[Аурелиано Буэндиа]

Padawan писал(а):

Из него самого следует, что силы должны быть направлены по прямой

Да, в случае центральных сил момент импульса системы материальных точек сохраняется. Вообще из III закона Ньютона следует, что суммарный момент внутренних сил не зависит от выбора начала координат т.к.

$$\sum_{ik} \vec{F}_{ik}=0,$$

но Вы уверены, что для системы из $N>2$ частиц равенство

$$\sum_{ik}\vec{r}_i \times \vec{F}_{ik}=0$$

выполняется только для центральных сил?

Например, достаточно очевидно, что в случае $N=3$ момент импульса сохраняется и для
нецентральных сил, удовлетворяющих условию

$$ \vec{F}_{12}=\vec{F}_{23}=\vec{F}_{31} $$

[Padawan]

Так как доказать закон сохранения момента импульса системы точек в механике Ньютона? Я не знаю. В учебниках пишется, что "суммарный момент внутренних сил равен 0" Но почему, если силы не центральные?

[Аурелиано Буэндиа]

Padawan писал(а):

Так как доказать закон сохранения момента импульса системы точек в механике Ньютона? Я не знаю. В учебниках пишется, что "суммарный момент внутренних сил равен 0" Но почему, если силы не центральные?

У учебниках пишут, что "суммарный момент внутренних сил равен 0". К этому приходят так:

$$ \dot{\vec{p}_i}=\sum_{k}\vec{F}_{ik} $$

Домножаем вектороно на $\vec{r}_i$ и суммируем.

$$ \sum_i \vec{r}_i \times \dot{\vec{p}_i}=\sum_i \frac{d}{dt}\left(\vec{r}_i \times \vec{p}_i \right) -\sum_i \dot{\vec{r}}_i\times \vec{p}_i= \sum_{ik} \vec{r}_i \times \vec{F}_{ik} $$

Так как $\dot{\vec{r}}_i$ и $\vec{p}_i$ сонаправлены, то $\dot{\vec{r}}_i\times \vec{p}_i=0$.
Значит

$$ \frac{d}{dt}\sum_i \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \sum_{ik}\vec{r}_i \times \vec{F}_{ik} $$

Все дело в том, что закон сохраниния полного механического момента системы материальных точек формулируется так: полный мех. момент ($\sum_i \vec{r}_i \times \vec{p}_i$) сохраняется, если суммарный момент внутренних сил ($\sum_{ik}\vec{r}_i \times \vec{F}_{ik}$) равен нулю. Подразумевается, что силы именно такие, что сумарный момент внутренних сил равен нулю. При этом верно, что если силы $\vec{F}_{ik} \forall i,k$ центральные, то суммарный момент равен нулю, но обратное утверждение (Если суммарный момент ноль, то силы центральные) уже не строгое.

А в механике Ньютона полный момент импульса системы может и не сохраняться. То же самое можно сказать и про полную механическую энергию. Чтобы получить закон сохранения момента импульса или механической энергии нужна дополнительная информация о силах, которая не содержится в законах Ньютона.

[Padawan]

В нескольких учебниках по физике, не заслуживающих особого доверия нашел:
1) В.М.Дерябин, В.Е.Борисенко Курс физики для химиков .Учебное пособие для студентов специальности "химия" университетов. - Издательство Красноярского университета, 1991.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Но в параграфе "Момент импульса. Закон сохранения момента импульса" сноска
* в механике Ньютона требование о равенстве нулю суммарного момента внутренних сил системы материальных точек принимается как постулат, дополнительный к законам Ньютона.


2) под. ред. А.А.Пинского Физика. Учебное пособие для 10 класса школ и классов с углубленным изучением физики. М.:Просвещение, 1995.

тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной прямой. Эти силы равны по модулю, противоположны по направлению.

Что значит "направлены по одной прямой" не объяснено.

В параграфе "Вращательное движение тел" написано "...но сумма моментов внутренних сил равна нулю..." и не объяснено почему.


Придется брать нормальный университетский учебник.

[Аурелиано Буэндиа]

Вот что сказано в учабнике
Д. В. Сивухин, Общий курс физики. Механика. том 1, 1979 г., 520 стр.

стр. 64

Закон 3. Действию всегда есть равное и противоположное взаимодействие, иначе -- взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

[Someone]

В.И.Арнольд. Математические методы классической механики. Москва, "Наука", 1989.

Глава 1, § 2, пункт Д.
Глава 2, § 10, пункты А - В.

Переписывать всё - слишком много.

Рассматривается система материальных точек. В системе двух точек силы, действующие на эти точки, называются силами взаимодействия, если они равны по величине, действуют вдоль прямой, соединяющей точки, и противоположно направлены. Система точек называется замкнутой, если все силы, действующие на точки, являются силами взаимодействия. Законы сохранения импульса и момента импульса доказываются для систем, замкнутых в указанном смысле.