2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцируемость ряда
Сообщение22.12.2010, 20:22 


14/12/10
18
задача: исследовать область существования ряда, и его дифференцируемость
$\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^n}e^{-n^2x^2}\arctan{n}$

Существование понятно - во всех $x$ кроме нуля $f_n$ можно оценить сверху по модулю как $e^{-n^2x^2}\frac{\pi}{2}$, а такая штука уже точно стремится к нулю, значит всё сходится по лейбницу, значит и сумма существует.
В нуле предел $f_n$ не стремится к нулю, значит там суммы не существует.

Далее дифференцируемость.
Ищем сходимость ряда производных $f_n=2(-1)^{n+1}xn^2e^{-n^2x^2}\arctan{n}$. На любом отрезке $[q_1,q_2],\ q_1>0$ можно оценить функцию сверху числом $q_2n^2e^{-n^2q_1^2}\frac{\pi}{2}$, которая монотонно стремится к нулю, следовательно ряд производных сходится на этом отрезке, следовательно, он равномерно сходится на этом отрезке. Значит, он равномерно сходится и на интервале от нуля до бесконечности. Аналогично с интервалом от минус бесконечности до нуля.
На этих интервалах получается, ряд дифференцируем.

Теперь два вопроса - во-первых верны ли мои суждения, во-вторых, нужно ли что-то в этом случае исследовать для нуля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость ряда
Сообщение22.12.2010, 20:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PoCTo в сообщении #390319 писал(а):
которая монотонно стремится к нулю,

Не факт, что монотонно. Впрочем, монотонность и не нужна.

PoCTo в сообщении #390319 писал(а):
следовательно ряд производных сходится на этом отрезке, следовательно, он равномерно сходится на этом отрезке.

Неверная комбинация слов. Он действительно сходится равномерно, и это действительно можно вытащить из Ваших рассуждений, но вовсе не потому, что просто сходится.

PoCTo в сообщении #390319 писал(а):
Значит, он равномерно сходится и на интервале от нуля до бесконечности.

А это уже неверно по существу: из равномерности на отрезках полуоси вовсе не следует равномерность на всей полуоси (её, собственно, и нет). Впрочем, равномерность именно на полуоси опять же и не нужна.

PoCTo в сообщении #390319 писал(а):
нужно ли что-то в этом случае исследовать для нуля?

что можно исследовать в нуле, если в нём нечего исследовать?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость ряда
Сообщение22.12.2010, 20:59 


14/12/10
18
ewert в сообщении #390331 писал(а):
следовательно ряд производных сходится на этом отрезке, следовательно, он равномерно сходится на этом отрезке.

мне казалось, что была такая теорема, как и для равномерной непрерывности в своё время.

ewert в сообщении #390331 писал(а):
Значит, он равномерно сходится и на интервале от нуля до бесконечности.

есть идеи, как это доказывать, тогда? у меня нет :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость ряда
Сообщение22.12.2010, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
PoCTo в сообщении #390319 писал(а):
задача: исследовать область существования ряда, и его дифференцируемость
$\sum_{\mathbf{n}=1}^{\infty}{(-1)^n}e^{-n^2x^2}\arctan{n}$

ряд существует всегда... просто потому, что Вы его задали

имелось ввиду, вероятно:
1) область сходимости ряда
2) дифференцируемость суммы ряда

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость ряда
Сообщение22.12.2010, 21:24 


14/12/10
18
да, вы правы, изначально было так - область существование функции, равной бесконечной сумме, и её дифференцируемость
но сейчас интересует больше решение :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость ряда
Сообщение22.12.2010, 21:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PoCTo в сообщении #390338 писал(а):
ewert в сообщении #390331 писал(а):
Значит, он равномерно сходится и на интервале от нуля до бесконечности.

есть идеи, как это доказывать, тогда? у меня нет :-(

Во-первых, это не мои слова, а Ваши. Во-вторых, есть противоположная идея: доказать, что на полуоси сходимость именно неравномерна (строго говоря, я этого не знаю, но практически уверен, что неравномерна). В-третьих, ещё раз: для корректности формального дифференцирования ряда равномерность сходимости на всей полуоси не имеет ровным счётом никакого значения. Ибо дифференцируемость -- штука локальная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость ряда
Сообщение22.12.2010, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
повторю вслед за ewert
вот это:


PoCTo в сообщении #390319 писал(а):
Значит, он равномерно сходится и на интервале от нуля до бесконечности.


неправда


но, богу слава, это нам и не нужно

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость ряда
Сообщение22.12.2010, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
именно так.
если бы он сходился равномерно на интервале, примыкающем к нулю, то сходился бы и в самом нуле.
но не очень-то и хотелось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость ряда
Сообщение22.12.2010, 21:51 


14/12/10
18
ну то есть по сути задача решена - я доказал на любом отрезке равномерную сходимость, значит и в любой точке можно дифференцировать, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость ряда
Сообщение22.12.2010, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
PoCTo
Ну если вы объясните по-человечески это, то может быть

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group