Дифференцируемость ряда

[PoCTo]

задача: исследовать область существования ряда, и его дифференцируемость
$\sum_{i=1}^{\infty}{(-1)^n}e^{-n^2x^2}\arctan{n}$

Существование понятно - во всех $x$ кроме нуля $f_n$ можно оценить сверху по модулю как $e^{-n^2x^2}\frac{\pi}{2}$, а такая штука уже точно стремится к нулю, значит всё сходится по лейбницу, значит и сумма существует.
В нуле предел $f_n$ не стремится к нулю, значит там суммы не существует.

Далее дифференцируемость.
Ищем сходимость ряда производных $f_n=2(-1)^{n+1}xn^2e^{-n^2x^2}\arctan{n}$. На любом отрезке $[q_1,q_2],\ q_1>0$ можно оценить функцию сверху числом $q_2n^2e^{-n^2q_1^2}\frac{\pi}{2}$, которая монотонно стремится к нулю, следовательно ряд производных сходится на этом отрезке, следовательно, он равномерно сходится на этом отрезке. Значит, он равномерно сходится и на интервале от нуля до бесконечности. Аналогично с интервалом от минус бесконечности до нуля.
На этих интервалах получается, ряд дифференцируем.

Теперь два вопроса - во-первых верны ли мои суждения, во-вторых, нужно ли что-то в этом случае исследовать для нуля?

[ewert]

PoCTo в сообщении #390319 писал(а):

которая монотонно стремится к нулю,

Не факт, что монотонно. Впрочем, монотонность и не нужна.

PoCTo в сообщении #390319 писал(а):

следовательно ряд производных сходится на этом отрезке, следовательно, он равномерно сходится на этом отрезке.

Неверная комбинация слов. Он действительно сходится равномерно, и это действительно можно вытащить из Ваших рассуждений, но вовсе не потому, что просто сходится.

PoCTo в сообщении #390319 писал(а):

Значит, он равномерно сходится и на интервале от нуля до бесконечности.

А это уже неверно по существу: из равномерности на отрезках полуоси вовсе не следует равномерность на всей полуоси (её, собственно, и нет). Впрочем, равномерность именно на полуоси опять же и не нужна.

PoCTo в сообщении #390319 писал(а):

нужно ли что-то в этом случае исследовать для нуля?

что можно исследовать в нуле, если в нём нечего исследовать?...

[PoCTo]

ewert в сообщении #390331 писал(а):

следовательно ряд производных сходится на этом отрезке, следовательно, он равномерно сходится на этом отрезке.

мне казалось, что была такая теорема, как и для равномерной непрерывности в своё время.

ewert в сообщении #390331 писал(а):

Значит, он равномерно сходится и на интервале от нуля до бесконечности.

есть идеи, как это доказывать, тогда? у меня нет

[paha]

PoCTo в сообщении #390319 писал(а):

задача: исследовать область существования ряда, и его дифференцируемость
$\sum_{\mathbf{n}=1}^{\infty}{(-1)^n}e^{-n^2x^2}\arctan{n}$

ряд существует всегда... просто потому, что Вы его задали

имелось ввиду, вероятно:
1) область сходимости ряда
2) дифференцируемость суммы ряда

[PoCTo]

да, вы правы, изначально было так - область существование функции, равной бесконечной сумме, и её дифференцируемость
но сейчас интересует больше решение :)

[ewert]

PoCTo в сообщении #390338 писал(а):

ewert в сообщении #390331 писал(а):

Значит, он равномерно сходится и на интервале от нуля до бесконечности.

есть идеи, как это доказывать, тогда? у меня нет

Во-первых, это не мои слова, а Ваши. Во-вторых, есть противоположная идея: доказать, что на полуоси сходимость именно неравномерна (строго говоря, я этого не знаю, но практически уверен, что неравномерна). В-третьих, ещё раз: для корректности формального дифференцирования ряда равномерность сходимости на всей полуоси не имеет ровным счётом никакого значения. Ибо дифференцируемость -- штука локальная.

[paha]

повторю вслед за ewert
вот это:

PoCTo в сообщении #390319 писал(а):

Значит, он равномерно сходится и на интервале от нуля до бесконечности.

неправда


но, богу слава, это нам и не нужно

[ИСН]

именно так.
если бы он сходился равномерно на интервале, примыкающем к нулю, то сходился бы и в самом нуле.
но не очень-то и хотелось.

[PoCTo]

ну то есть по сути задача решена - я доказал на любом отрезке равномерную сходимость, значит и в любой точке можно дифференцировать, да?

[SpBTimes]

PoCTo
Ну если вы объясните по-человечески это, то может быть