f(x) не имеющие производной на всей числ. прямой

[moscwicz]

Padawan в сообщении #390140 писал(а):

Обобщенная производная должна принадлежать локально $L_1$.

Хорошо. Вот дельта-функция является производной. Предъявите plz функцию $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ такую, что

$$\int_{\mathbb{R}}f(x)\psi(x)dx=\psi(0),\quad\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}),\quad supp\,\psi\subset (-1,1)$$

Padawan в сообщении #390140 писал(а):

Это синонимы.

ну-ну

[AD]

(оффтоп - про generalized functions)

Padawan в сообщении #390140 писал(а):

moscwicz в сообщении #390137 писал(а):

Вот есть distributions а есть generalized functions

Это синонимы.

А вот один умный дядька (стр. 15, #18) утверждает, что словосочетание "generalized functions" придумали русские как прямолинейную кальку с чисто русского термина, а в остальных странах есть только "distributions".

Про функцию Дирихле проще всего сказать, что ее можно исправить на множестве меры нуль так, чтобы она была всюду дифференцируема. Конечно, аппроксимативной производной у неё местами нет. Зато есть какая-нибудь там симметричная аппроксимативная (:

[Padawan]

moscwicz в сообщении #390241 писал(а):

Padawan в сообщении #390140 писал(а):

Это синонимы.

ну-ну

Просветите, в чем разница?

А по обобщенным производным я вот что имею ввиду: функция $g(x)\in L_{1,loc}$ является обобщенной производной функции $f(x)\in L_{1,loc}$, если для любой $\varphi\in\mathcal D$ выполнено равенство...

[moscwicz]

Меня учили так (не тольку учили, пару раз видел в литературе). Generalized function это обобщенная функция как функционал на пространстве основных функций $\mathcal{D}$. Distribution это такая generalized function, которая может быть представлена в виде $\psi\mapsto\int f(x)\psi(x)dx,\quad \psi\in\mathcal{D}$. И вот именно эта плотность $f\in L^1_{loc}$ тогда и называется distribution.

-- Wed Dec 22, 2010 18:06:21 --

Padawan в сообщении #390258 писал(а):

А по обобщенным производным я вот что имею ввиду: функция $g(x)\in L_{1,loc}$ является обобщенной производной функции $f(x)\in L_{1,loc}$, если для любой $\varphi\in\mathcal D$ выполнено равенство...

а зачем обязательно требовать суммируемой плотности у $f'$?

AD в сообщении #390256 писал(а):

"generalized functions" придумали русские

это не так, этим термином пользуется Коломбо , например, Брюс Драйвер тож.

[ewert]

moscwicz в сообщении #390137 писал(а):

обобщенная производная функции $f$ это линейный функционал вида $\psi(x)\mapsto-\int f(x)\psi'(x)dx$ другое дело, что обобщенная функция может иметь суммируемую плотность аа может не иметь.

Это не так: производные обобщённых функций и обобщённые производные -- это формально разные понятия, хотя идеологически и родственные. Под "обобщёнными производными" понимают всё-таки функции в классическом смысле (ну с точностью до множества меры ноль, естественно).

[moscwicz]

ewert в сообщении #390263 писал(а):

производные обобщённых функций и обобщённые производные -- это формально разные понятия,

Вот эти экзерсисы педагогические... При том, что каждая локально суммируемая функция может считаться обобщенной... А вот меня учили что обобще функции могут иметь суммируемую плотность , а могут не иметь. Тоже самое только вид с боку. Ну давайте откроем семинар по методике преподавания и подеремся там.

[ewert]

moscwicz в сообщении #390274 писал(а):

При том, что каждая локально суммируемая функция может считаться обобщенной...

Совершенно верно. Но неверно обратное.

moscwicz в сообщении #390274 писал(а):

А вот меня учили что обобще функции могут иметь суммируемую плотность , а могут не иметь.

Совершенно верно. И что?...

moscwicz в сообщении #390274 писал(а):

Вот эти экзерсисы педагогические...

Педагогика тут не при чём, просто есть общепринятая терминология. Теория обобщённых производных -- не то же самое, что теория обобщённых функций.

[moscwicz]

ewert
Пусть нам дана обычная функция $f$ имеющая обобщенную производную $g$ в том смысле, о котором Вы говорите. Эту функцию $f$ можно рассматривать как обобщенную, и тогда обобщенная функция, являющаяся производной от $f$ будет иметь плотность $g$. Вы это находите заслуживающим обсуждения? Ну флаг ,как говорится, в руку. Я это обсуждать не буду. Скучно.

-- Wed Dec 22, 2010 20:20:10 --

ewert в сообщении #390300 писал(а):

Теория обобщённых производных -- не то же самое, что теория обобщённых функций.

ewert в сообщении #390300 писал(а):

Совершенно верно. Но неверно обратное.

Я понял, Вы только с экзамена пришли. Ну Вы расслабьтесь, чайку попейте.

[zhoraster]

Тема закрыта, поскольку превратилась в перепалку на ровном месте. Участникам устное замечание за разведение оффтопа.