Разложить функцию в ряд Тейлора или Лорана (ТФКП)

[sandurlay]

Разложить функцию $f(z)=\frac{z^2+3}{z^2+2z}$ по степеням $(z-1)$ в ряд Тейлора или Лорана во всех областях на плоскости, где такое разложение возможно.

Я разбил на простые дроби, а дальше завис. Пропустил лекцию, теперь не знаю.

[ewert]

Напишите здесь Ваше разложение. Какие точки будут особыми?...

[sandurlay]

$\frac{z}{z+2}+\frac{3}{2z}+\frac{3}{2(z+2)}$

особые точки: -2, 0

[ИСН]

Перейдите к той переменной, по степеням которой - - -

-- Ср, 2010-12-22, 13:01 --

или не хотите - не переходите. Короче, теперь вся плоскость делится на кольца, в которых разные разложения...

-- Ср, 2010-12-22, 13:02 --

стоп, вон то первое слагаемое - это что вообще такое? Теперь такие простые дроби стали делать?

[sandurlay]

ИСН, я пропустил ту лекцию, я ее переписал, но ничего не понятно все равно. Если можно, то поподробнее можете разъяснить, пожалуйста?

[ИСН]

Элементарные дроби (ну, те, на которые надо было разбить) - это какие? какого вида?

[sandurlay]

$1+\frac{3}{2z}+\frac{7}{2(2+z)}$

особые точки: -2, 0

нда, накосячил я

[ИСН]

Ага, так лучше (если нигде не ошиблись в арифметике; это не проверял).
Теперь так. Вся премудрость вот:
${1\over1+x}=1-x+x^2-x^3+...$ (годится для маленьких x)
и
${1\over1+x}={1\over x}-{1\over x^2}+{1\over x^3}-{1\over x^4}+...$ (годится для больших x)
Это применяем к каждой дроби. Кто тут x, решаем по обстоятельствам.

[ewert]

sandurlay в сообщении #390199 писал(а):

нда, накосячил я

Нда, накосячил (со знаками). Исправьте, а потом по совету ИСН сделайте замену $z-1=w$. Посмотрите, какие получатся особые точки, и нарисуйте соотв. кольца.

[sandurlay]

ИСН, не могли бы Вы поподробнее объяснить, что надо сделать? И как понять большие и маленькие иксы"?

перед третьей дробью - знак минус

$1+\frac{3}{2(w+1)}-\frac{7}{2(w+3)}$

особые точки: -1, -3

[ИСН]

Надо разложить каждую дробь по типу одного из тех двух разложений, смотря по тому, какое годится.
Где проходит граница между большим и маленьким, не скажу. Я сегодня вредный. Вы слышали, вероятно, слово "ряд" - так вот Вам ряд. При каких x он сходится? А второй?