Отделено: Снова о неопределённом интеграле

[Quasus]

ewert в сообщении #389950 писал(а):

Quasus в сообщении #389945 писал(а):

А вы не могли бы пояснить, где и зачем в теории дифференциальных уравнений рассматривают совокупность первообразных функции одного переменного?

Поясняю: запись $y=\int f(x)\,dx$ -- это, с формальной точки зрения, формальная запись общего решения дифференциального уравнения $y'(x)=f(x)$. Не более и не менее. Конечно, когда только начинают разговор об интегрировании, таких слов не произносят. Но сути дела это не меняет, а суть -- именно в этом.

То есть вы имеете в виду, что понятие неопределённого интеграла играет роль при интегрировании дифуров в квадратурах? Точно, ещё если переменные разделяются. Тем не менее, обычно всё-таки постоянные, входящие в решение, явно пишут, а не скрывают под знаком интеграла.

А вообще, элементарное решение дифуров в квадратурах — сбоку припёка в теории дифференциальных уравнений. Мы же не в восемнадцатом веке. Обожаю учебник Арнольда, так там элементарные методы интегрирования вообще не рассматриваются. Продолжу цепочку своих ассоциаций : в дифурах у меня слово «интеграл» связывается с первыми интегралами.

-- Вт дек 21, 2010 20:47:02 --

Munin в сообщении #389953 писал(а):

Quasus в сообщении #389945 писал(а):

А вы не могли бы пояснить, где и зачем в теории дифференциальных уравнений рассматривают совокупность первообразных функции одного переменного? Я не ехидничаю, просто давненько уже учебники по дифурам читал.

Это как раз типичное "общее решение дифференциального уравнения".

Если бы понятие «неопределённый интеграл = совокупность первообразных ~ общее решение» применялось для широкого класса дифуров… А то один, и тот простенький: $y' = f(x)$.

[Munin]

Quasus в сообщении #389958 писал(а):

А вообще, элементарное решение дифуров в квадратурах — сбоку припёка в теории дифференциальных уравнений. Мы же не в восемнадцатом веке. Обожаю учебник Арнольда, так там элементарные методы интегрирования вообще не рассматриваются.

Всё это хорошо, пока рассуждаешь о высоких материях, крутя пальцами в воздухе. А когда есть конкретный дифур и надо бы выписать его решение, остаёшься один на один с "элементарными методами" или перспективой остаться вообще без ответа - потому что высоко парящие математики убежали куда-то далеко и оставили безо всякой помощи и поддержки.

Всё-таки хорошо было в восемнадцатом веке, когда конкретную практическую задачу ставил, и рассматривал абстрактно, и потом решал конкретно, и часто даже численно, один человек - и математик, и физик, и подчас инженер в одном лице. Он тогда хорошо чувствовал, на какую задачу работает, и чего от него в конечном итоге требуется.

-- 21.12.2010 20:53:43 --

Quasus в сообщении #389958 писал(а):

Если бы понятие «неопределённый интеграл = совокупность первообразных ~ общее решение» применялось для широкого класса дифуров…

А я бы сюда включил ещё и первообразные формы: $d\alpha=\omega,$ $\alpha=d^{-1}\omega$ - там класс повеселей, чем просто $\ldots+C.$

[ewert]

Munin в сообщении #389953 писал(а):

Это закон такой? Его Король Червей издал?

Нет, конечно, не закон. Это просто факт. Если мы говорим о представителях -- то мы говорим о представителях, а не о классах. И наоборот: говоря о классах -- мы говорим именно о классах, а не об их представителях. Говоря о картошке, мы не имеем в виду микропроцессоры -- и наоборот. Мы вообще обычно отдаём себе отчёт в предмете разговора и в соответствующей терминологии.

Хотя я, конечно, вовсе не исключаю, что такая точка зрения не является общепринятой.

Quasus в сообщении #389958 писал(а):

Точно, ещё если переменные разделяются.

Вы недостаточно точны. Следовало ещё добавить: "и ещё если после такого разделения в решении появляются цифры 2, 9 и 17".

[Quasus]

Munin в сообщении #389966 писал(а):

Всё это хорошо, пока рассуждаешь о высоких материях, крутя пальцами в воздухе. А когда есть конкретный дифур и надо бы выписать его решение, остаёшься один на один с "элементарными методами" или перспективой остаться вообще без ответа - потому что высоко парящие математики убежали куда-то далеко и оставили безо всякой помощи и поддержки.

Это точно. Я имел в виду именно теорию (вопросы существования и единственности, непрерывной зависимости и т. д.), но «суха теория, мой друг». Хотя всё равно мало дифуров явно интегрируется, надо численно считать.

[moscwicz]

Munin в сообщении #389966 писал(а):

А когда есть конкретный дифур и надо бы выписать его решение, остаёшься один на один с "элементарными методами" или перспективой остаться вообще без ответа

это вопрос личного выбора: остаться на уровне элементарных методов и без отвоета, или использовать современные результаты и методы включая численные.

[Munin]

ewert в сообщении #389969 писал(а):

Нет, конечно, не закон. Это просто факт. Если мы говорим о представителях -- то мы говорим о представителях, а не о классах. И наоборот: говоря о классах -- мы говорим именно о классах, а не об их представителях.

Это факт в вашем мире. В моём о классах и представителях часто говорят безразлично. (Часто - не означает всегда.)

ewert в сообщении #389969 писал(а):

Мы вообще обычно отдаём себе отчёт в предмете разговора и в соответствующей терминологии.

А ещё мы обычно отдаём себе отсчёт об изоморфизмах между предметами разговора.

ewert в сообщении #389969 писал(а):

Хотя я, конечно, вовсе не исключаю, что такая точка зрения не является общепринятой.

Впервые от вас такое слышу. Бальзам на душу.

Quasus в сообщении #389971 писал(а):

Хотя всё равно мало дифуров явно интегрируется, надо численно считать.

Ну всё-таки в 20 веке проинтегрировали больше, чем в 18 :-) (нелинейности и дифуры на многообразиях - как минимум) Думаю, это ещё и от вложенных усилий зависит.

-- 21.12.2010 21:20:29 --

moscwicz в сообщении #389974 писал(а):

это вопрос личного выбора: остаться на уровне элементарных методов и без отвоета, или использовать современные результаты и методы включая численные.

Ну, численные - это "не методы вообще", и уж точно не современные (так ещё Кеплер считал). А современных результатов мы не чураемся, вот только обидно, когда математики дают таких результатов меньше, чем общих рассуждений. Получается, что мощные средства - инструмент половинчатый, перевести задачу на их язык можно, а выжать решение - пыхтишь-пыхтишь, и не выходит.

[moscwicz]

Munin в сообщении #389980 писал(а):

Ну, численные - это "не методы вообще", и уж точно не современные (так ещё Кеплер считал). А современных результатов мы не чураемся, вот только обидно, когда математики дают таких результатов меньше, чем общих рассуждений. Получается, что мощные средства - инструмент половинчатый, перевести задачу на их язык можно, а выжать решение - пыхтишь-пыхтишь, и не выходит.

поясните Вашу мысль на конкретных примерах

[Munin]

Не стану. Велики шансы, что в конкретном случае это не математики результатов не предоставили, а просто я с ними не знаком. Извините.

[Quasus]

Munin в сообщении #389980 писал(а):

А современных результатов мы не чураемся, вот только обидно, когда математики дают таких результатов меньше, чем общих рассуждений.

Теоремы существования — наше фсё.

[ewert]

Munin в сообщении #389980 писал(а):

Ну всё-таки в 20 веке проинтегрировали больше, чем в 18

Не исключено; а что толку-то?... Всё равно не интегрируемых явно уравнений -- неизмеримо больше, чем интегрируемых. Потому и общие теории в данном случае -- куда полезнее, чем символьные финтифлюшки.

Munin в сообщении #389980 писал(а):

обидно, когда математики дают таких результатов меньше, чем общих рассуждений.

Обидно, когда физики ожидают луны с неба (что заведомо и невозможно), гордо игнорируя "общие рассуждения", без которых нельзя разрабатывать численные методы да и просто понимать суть происходящего. Утешает лишь, что не все они такие.

[Munin]

ewert в сообщении #390001 писал(а):

Всё равно не интегрируемых явно уравнений -- неизмеримо больше, чем интегрируемых.

В каком пространстве и по какой мере?

Нас интересуют не абстрактные "не интегрируемые явно уравнения", а конкретные задачи, возникающие в физике и технике. Если их удаётся проинтегрировать, мы радуемся каждому такому результату.

ewert в сообщении #390001 писал(а):

Потому и общие теории в данном случае -- куда полезнее, чем символьные финтифлюшки.

Для вас как преподавателя полезнее - может быть.

ewert в сообщении #390001 писал(а):

Обидно, когда физики ожидают луны с неба (что заведомо и невозможно), гордо игнорируя "общие рассуждения", без которых нельзя разрабатывать численные методы да и просто понимать суть происходящего.

Это вы какую-то абстрактную ситуацию выдумали, не имеющую (как и многое из ваших выдумок) отношения к реальности, и заявляете, что это обидно.

[ewert]

Munin в сообщении #390031 писал(а):

Для вас как преподавателя полезнее - может быть.

"Они всё путают, и имя, и назва-ания..."

Для меня как преподавателя -- символьные, может, и приятнее были бы. Но, вот как раз наступая себе на горло, я всё-таки понимаю: получить решение в символьном виде (в практических задачах) -- это очень, очень, очень большая редкость.

[worm2]

ewert писал(а):

Если мы говорим о представителях -- то мы говорим о представителях, а не о классах. И наоборот: говоря о классах -- мы говорим именно о классах, а не об их представителях. Говоря о картошке, мы не имеем в виду микропроцессоры -- и наоборот. Мы вообще обычно отдаём себе отчёт в предмете разговора и в соответствующей терминологии.

Да ладно уже в такие строгости-то пускаться. Думаю, даже Вы, когда пишете что-нибудь такое: $x^\alpha\in L_p[0,\,1]$, не всегда уточняете, что под $x^\alpha$ понимается не функция, а класс функций.

[ewert]

worm2 в сообщении #390179 писал(а):

Да ладно уже в такие строгости-то пускаться.

Бывают строгости и строгости. Слова типа "с точностью до почти всюду" -- всего лишь бантик, нужный только для формальной корректности текста, именно потому, что различия между представителями нигде фактически не проявляются. Поэтому их обычно можно вполне безболезненно опускать (хотя и не всегда; иногда такая небрежность ведёт просто к бессмысленности текста, как, скажем, в вопросе о следах соболевских функций на границе). А вот, между прочим, запись $x^{\alpha}\in L_p[0;1]$ -- нехороша, точнее, формально безграмотна: ведь $x^{\alpha}$ -- это не сама функция, а её значение в точке $x$ (я, правда, для краткости подобное себе тоже иногда позволяю на лекциях, но ни в коем случае не в официальных текстах). И уж совсем никуда не годится считать, что $\int f(x)\,dx$ -- это $F(x)$, а не $F(x)+C$: здесь $C$ -- вовсе никакой не бантик, а вполне конструктивный элемент, именно эта константа и будет потом параметризовать общее решение.

[worm2]

ewert писал(а):

$x^{\alpha}$ -- это не сама функция, а её значение в точке $x$ (я, правда, для краткости подобное себе тоже иногда позволяю на лекциях, но ни в коем случае не в официальных текстах).

Представляю, как тяжело Вам приходится в официальных текстах: "определим $f$ как класс измеримых по Лебегу на $[0,1]$ функций, почти всюду равных на этом отрезке функции $g$, определяемой формулой $g(x)=x^\alpha$"