Преобразование распределений

[.alexey]

Как, если задана случайная величина $ \xi \sim A $ и функция вида $g(x_1, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n} x_i^k $, где $k$ некоторая целая степень, получить функцию распределения (или плотность) $g$?

В частности, как получен тот факт, что если $R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)$ то $\sum_{i=1}^n R_i^2 \sim \Gamma(n,2\sigma^2)$ тут.

Или же, например, если $X \sim N(0,1)$ то $\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$ тут.

PS Мне, например, понятно, как преобразовывать одномерную случайную величину(то есть когда функция перобразования вида $g(x) = ... $). Но как это сделать, если функция преобразования зависит от многих переменных $g(x_1, ..., x_n)$. Если делать, как написано [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Плотность_вероятности#.D0.9F.D0.BB.D0.BE.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.8C_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.BE.D0.B1.D1.80.D0.B0.D0.B7.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B]тут[/url], то нужно считать обратную к $g$ функцию. Как это сделать в данном случае?

[alisa-lebovski]

Если речь идет о суммах независимых слагаемых, то надо сначала найти распределения этих слагаемых, а потом применить формулу свертки. Если слагаемых много, то многократно.

[.alexey]

Всмысле независимых? По моему из первого поста очевидно, что независимых и распределенных по одинаковому закону распределения.
Количество слагаемых переменная величина.
Википедия, как я понял, говорит, что нужно применить формулу
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \ldots \int_{-\infty}^\infty f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2) \ldots f_{X_n}(x_n)\delta(y-G(x_1,x_2,\ldots x_n))\,dx_1\,dx_2\,\ldots dx_n$

то есть во втором случае из моего первого поста
$X \sim N(0,1)$ и $\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$
нужно посчитать интеграл

$f_Y(y) = \int_{R^n} \prod_{i = 1}^n \left(\frac{1}{\sqrt{2\Pi}} e^{- \frac{x_i} {2}}\right) \delta(y-\sum_{i=1}^n x_i^2)dX$

$\delta$ - дельта функция дирака
Как считать такой интгерал?

[alisa-lebovski]

Вы Википедии верите больше всего на свете?
Ну, поищите там слова формула свертки.

[.alexey]

Я знаю, что такое операция свертки функций. Я совершенно не пойму, как она может мне помочь здесь.
А на Википедию я ссылаюсь, чтобы не говорить, что формулу я сам от балды придумал.
Например, не понятно, свертку применять к плотности распределения или к функции распределения.

[alisa-lebovski]

Свертка применяется к плотностям.

[.alexey]

Ок, к плотностям. У меня что то не получается... Где то наверное ошибаюсь.
Делаю так:
Плотность нормального распределения: $p_{N(0,1)}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$
Функция преобразования $g(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2$
Нужно получить:
$p_{\chi^2(2)}(x) = e^{-\frac{x}{2}}$
Считаю квадрат величины распределенной по нормальному распределению:
$h(x) = x^2$, $h^{-1}(x) = \sqrt{x}$ (!!!) функция определена не на всем $R$ или же рассматриваем комплексную
$p_{N^2(0,1)}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\sqrt{x}^2}{2}} \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Свертка:
$\int_{-\infty}^{\infty} p_{N^2(0,1)}(x) \,\, p_{N^2(0,1)}(y - x) dx $

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\sqrt{x}^2}{2}} \frac{1}{2\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\sqrt{y - x}^2}{2}} \frac{1}{2\sqrt{y - x}} dx $

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{8\pi \sqrt{x(y - x)}} e^{-\frac{y}{2}} dx $

Остается посчитать интеграл $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x(y - x)}} dx $
Разве этот интеграл равен $8\pi$?
Что я делаю не так?

[alisa-lebovski]

Во-первых, функция $h$ немонотонная, и так буквально через обратную делать нельзя. Тут накладывается вторая ветвь, в результате плотность (квадрата) получается вдвое больше. Во-вторых, эта формула плотности работает только при $x>0$, а при $x<0$ равна нулю, потому что квадрат отрицательным не бывает. Это надо учитывать при свертке и оставить такую область интегрирования, где подынтегральное произведение плотностей не равно нулю.

[.alexey]

$p_{N^2(0,1)}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\sqrt{x}^2}{2}} \frac{1}{2\sqrt{x}}$, при $x > 0$ иначе $p_{N^2(0,1)}(x) = 0$, при $x \le 0$

Свертка:
$\int_{0}^{y} p_{N^2(0,1)}(x) \,\, p_{N^2(0,1)}(y - x) dx $

$\int_{0}^{y} \frac{1}{\sqrt{x(y - x)}} dx $

$\int_{0}^{y} \frac{2}{\sqrt{4xy - 4x^2 + y^2 - y^2}} dx $

$\int_{0}^{y} \frac{1}{\sqrt{y^2 - (2x - y)^2}} d(2x-y) $

$arcsin(\frac{2y - y} {y}) - arcsin(\frac{ - y} {y}) = \frac{\pi} {2} + \frac{\pi} {2} = \pi$


В итоге получается:

$ p_{\chi^2(2)}(x) = \frac{\pi} {2\pi} e^{-\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}}$

Спасибо за помощь!