Отделено: Снова о неопределённом интеграле

[ewert]

от модератора AD:

Отделено отсюда.

Quasus в сообщении #389275 писал(а):

В теории интегрирования под неопределённым интегралом понимается интеграл как функция множества, по которому он берётся.

Это вряд ли.

[AD]

ewert в сообщении #389755 писал(а):

Это вряд ли.

Что не так?

$$F(A)=\int_Af(x)\,dx$$

[ewert]

В чём неопределённость?...

[AD]

ewert в сообщении #389795 писал(а):

В чём неопределённость?...

Хмм, философский вопрос. Думаете, "неопределенный" он потому, что константа не определяется? А мне казалось, что неопределённость в $A$ (т.е. в не определенных заранее пределах интегрирования).
Не знаю, можно ли это серьёзно обсуждать

[ewert]

AD в сообщении #389809 писал(а):

Думаете, "неопределенный" он потому, что константа не определяется?

Я думаю, что он вполне определённый. И ещё думаю, что слова

Quasus в сообщении #389275 писал(а):

С таким неопределённым интегралом знакомы только первокурсники.

не соответствуют действительности. А уж говорить

Quasus в сообщении #389275 писал(а):

В теории интегрирования под неопределённым интегралом понимается интеграл как функция множества, по которому он берётся.

-- просто неприлично.

[Munin]

Quasus в сообщении #389275 писал(а):

С таким неопределённым интегралом знакомы только первокурсники. В математике хватает понятия первообразной.

И почему же за пределами первого курса нельзя переход к первообразной назвать взятием неопределённого интеграла?

[ewert]

Munin в сообщении #389842 писал(а):

И почему же за пределами первого курса нельзя переход к первообразной назвать взятием неопределённого интеграла?

Нельзя, поскольку неопределённый интеграл -- это всё-таки не функция, а множество функций. Вот как раз "в пределах первого курса" (при изучении собственно интегралов) на это ещё можно было бы закрыть глаза как на формальность, во всяком случае при проверке контрольных заданий, "за пределами" же (в дифурах, скажем) -- уже никак нельзя, там это уже становится принципиальным.

[Munin]

ewert в сообщении #389845 писал(а):

Нельзя, поскольку неопределённый интеграл -- это всё-таки не функция, а множество функций.

Простите, я спрашивал не вас. С вашими экстремальными взглядами я уже знаком, и считаю их упоминание только помехой в обсуждении, в котором я пытаюсь выяснить интересные мне вопросы.

Вообще, за пределами первого курса как раз должно быть хорошо известно, что множество классов эквивалентности совершенно взаимозаменяемо со множеством их представителей (пока рассматриваются действия и отношения, не различающие представителей одного класса), так что смысла в указанном вами различении я не вижу никакого.

[Quasus]

ewert в сообщении #389821 писал(а):

И ещё думаю, что слова

Quasus в сообщении #389275 писал(а):

С таким неопределённым интегралом знакомы только первокурсники.

не соответствуют действительности.

Конечно не соответствует: иначе откуда первокурсники узнали бы о нём?

Однако у меня, например, значок интеграла без пределов ассоциируется в первую очередь с интегралом по некоторому default множеству, а вовсе не с совокупностью первообразных. А понятие «интеграл» ассоциируется с мерой и т. п. — с тем, чего в понятии первообразной нет. Но это я так, о своём.

ewert в сообщении #389821 писал(а):

А уж говорить

Quasus в сообщении #389275 писал(а):

В теории интегрирования под неопределённым интегралом понимается интеграл как функция множества, по которому он берётся.

-- просто неприлично.

А почему неприлично? Конечно, каждый математик имеет право на свою терминологию и обозначения, поэтому априори никто не станет утверждать, что во всех работах по теории меры и интеграла неопределённый интеграл понимается в смысле

$$F(A)=\int_Af(x)\,dx.$$

Однако такие книги есть. Почему такой интеграл назван неопределённым — другой вопрос, да и вообще обращаться к этимологии математических терминов — дело неблагодарное.

-- Вт дек 21, 2010 18:34:23 --

Munin в сообщении #389842 писал(а):

Quasus в сообщении #389275 писал(а):

С таким неопределённым интегралом знакомы только первокурсники. В математике хватает понятия первообразной.

И почему же за пределами первого курса нельзя переход к первообразной назвать взятием неопределённого интеграла?

Да назвать‐то можно (я глянул Натансона — у него неопределённый интеграл в самом традиционном смысле), но мне кажется, это понятие не играет сколько‐нибудь значительной роли.

[ewert]

Quasus в сообщении #389883 писал(а):

Однако у меня, например, значок интеграла без пределов ассоциируется в первую очередь с интегралом по некоторому default множеству, а вовсе не с совокупностью первообразных.

Значит, Вы сходу сможете дать правильный ответ на вопрос: "что означает несчастье в квадрате?"

Quasus в сообщении #389883 писал(а):

Да назвать‐то можно (я глянул Натансона — у него неопределённый интеграл в самом традиционном смысле), но мне кажется, это понятие не играет сколько‐нибудь значительной роли.

Значит, дифференциальные уравнения не имеют никакого хоть сколько-то существенного значения.

Quasus в сообщении #389883 писал(а):

Почему такой интеграл назван неопределённым — другой вопрос,

Нет никакого вопроса. Никто, решительно никто не обзывает интеграл по умалчиваемой области "неопределённым".

Munin в сообщении #389881 писал(а):

так что смысла в указанном вами различении я не вижу никакого.

Очень плохо, что не видите. Это означает, что Вы не видите разницы между частным и общим решением дифференциального уравнения. Конечно, на самом-то деле вы его вполне видите, но зачем-то предпочитаете кокетничать и систематически выдавать демонстративно нелепые утверждения.

[Quasus]

ewert в сообщении #389902 писал(а):

Quasus в сообщении #389883 писал(а):

Да назвать‐то можно (я глянул Натансона — у него неопределённый интеграл в самом традиционном смысле), но мне кажется, это понятие не играет сколько‐нибудь значительной роли.

Значит, дифференциальные уравнения не имеют никакого хоть сколько-то существенного значения.

А вы не могли бы пояснить, где и зачем в теории дифференциальных уравнений рассматривают совокупность первообразных функции одного переменного? Я не ехидничаю, просто давненько уже учебники по дифурам читал.

ewert в сообщении #389902 писал(а):

Quasus в сообщении #389883 писал(а):

Почему такой интеграл назван неопределённым — другой вопрос,

Нет никакого вопроса. Никто, решительно никто не обзывает интеграл по умалчиваемой области "неопределённым".

Ну хорошо, я попробую найти ссылку на конкретную книгу.

[ewert]

Quasus в сообщении #389945 писал(а):

А вы не могли бы пояснить, где и зачем в теории дифференциальных уравнений рассматривают совокупность первообразных функции одного переменного?

Поясняю: запись $y=\int f(x)\,dx$ -- это, с формальной точки зрения, формальная запись общего решения дифференциального уравнения $y'(x)=f(x)$. Не более и не менее. Конечно, когда только начинают разговор об интегрировании, таких слов не произносят. Но сути дела это не меняет, а суть -- именно в этом.

[Munin]

Quasus в сообщении #389883 писал(а):

Да назвать‐то можно (я глянул Натансона — у него неопределённый интеграл в самом традиционном смысле), но мне кажется, это понятие не играет сколько‐нибудь значительной роли.

Я думаю, дело в том, что в математических изложениях вообще техника вычисления не играет сколько-нибудь значительной роли (все знают, как вопрос о вычислении переводится на язык обыкновенных интегралов или дифференциальных уравнений, и на этом теряют интерес), но вот в практических приложениях он стоит остро.

ewert в сообщении #389902 писал(а):

Очень плохо, что не видите. Это означает, что Вы не видите разницы между частным и общим решением дифференциального уравнения. Конечно, на самом-то деле вы его вполне видите, но зачем-то предпочитаете кокетничать и систематически выдавать демонстративно нелепые утверждения.

Пока "плохо" и "нелепые" остаются вашими личными оценками, я спокоен. А ваши телепатические домыслы о том, что я вижу или не вижу, вообще не могу комментировать: вы умудряетесь утверждать две противоположные вещи.

Намекну только, что уточнение в скобочках, позволю себе его процитировать:

Munin в сообщении #389881 писал(а):

(пока рассматриваются действия и отношения, не различающие представителей одного класса)

- я не зря написал.

[ewert]

Munin в сообщении #389951 писал(а):

- я не зря написал.

Зря. Поскольку как только заговаривают о первообразных -- как раз и начинается различение представителей.

[Munin]

Quasus в сообщении #389945 писал(а):

А вы не могли бы пояснить, где и зачем в теории дифференциальных уравнений рассматривают совокупность первообразных функции одного переменного? Я не ехидничаю, просто давненько уже учебники по дифурам читал.

Это как раз типичное "общее решение дифференциального уравнения". Выбрать из этого класса представителя - "частное решение дифференциального уравнения" - можно, если заданы дополнительные условия (какого угодно вида, достаточного для существования и однозначности). Если дополнительных условий нет, класс рассматривается как целое.

-- 21.12.2010 20:32:45 --

ewert в сообщении #389952 писал(а):

Поскольку как только заговаривают о первообразных -- как раз и начинается различение представителей.

Это закон такой? Его Король Червей издал? Под каким номером он у него в записной книжечке записан?