Сходимость ряда

[SpBTimes]

$\frac{n^2 + 1}{n^2 + n + 2}} = 1 - \frac{n + 1}{n^2 + n + 2}}$
$log(1 - \frac{n + 1}{n^2 + n + 2}})$ ~ $ - \frac{n + 1}{n^2 + n + 2}}$
Ну и всё

[Hitp]

но ведь тогда получается отрицательный ряд, к которому признаки сравнения для полож применить нельзя

[SpBTimes]

То есть вы хотите сказать, что исследовать на сходимость ряд с общим членом
$\frac{1}{n^2}$ вы будете по-другому, нежели $\frac{-1}{n^2}$

Поразмышляйте.
И ещё, определите-ка знак членов ряда, что были изначально. Знак членов ряда из логарифма

[Hitp]

тогда получается $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyOeI0YaaS % aaaeaacaWGUbGaey4kaSIaaGymaaqaaiaad6gadaahaaWcbeqaaiaa % ikdaaaGccqGHRaWkcaWGUbGaey4kaSIaaGOmaaaacqGH8aapdaWcaa % qaaiabgkHiTiaaigdaaeaacaWGUbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa % aaa!4300! \[ - \frac{{n + 1}}{{{n^2} + n + 2}} < \frac{{ - 1}}{{{n^2}}}\]$и значит сходится

[SpBTimes]

не с той стороны огрничили.
по сути дела можно рассматривать ряд, вынеся "-" за знак ряда, умножение ряда на -1 сходимости не меняет, как и расходимость.
То есть вам достаточно исследовать ряд с общим членом $\frac{n+1}{n^2 + n + 2}$

А вы своё сравнение сократите на -1, измените знак и получите, что ограничили свой ряд снизу. А снизу то чего его ограничивать. Так что неверно. Тем паче он расходится

[Hitp]

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % WGUbGaey4kaSIaaGymaaqaaiaad6gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGc % cqGHRaWkcaWGUbGaey4kaSIaaGOmaaaacqGH8aapdaWcaaqaaiaad6 % gacqGHRaWkcaaIXaaabaGaamOBamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiab % gUcaRiaad6gaaaGaeyipaWZaaSaaaeaacaWGUbGaey4kaSIaaGymaa % qaaiaad6gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaa % caaIXaaabaGaamOBaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaWGUb % WaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaaaaa!50B1! \[\frac{{n + 1}}{{{n^2} + n + 2}} < \frac{{n + 1}}{{{n^2} + n}} < \frac{{n + 1}}{{{n^2}}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}\]$ так?

[SpBTimes]

ага

[ИСН]

а что ага? Ограничили сверху расходящимся рядом, big deal. Точно так же можно сказать, что ${1\over n^{10}}\leq{1\over n}$, и что это значит для $1\over n^{10}$?

[SpBTimes]

ну написано-то верно.
Разве что не доказано, что ряд сходится-расходится, но это товарищ и не утверждал

[Hitp]

могу ли я ограничить снизу так?$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % aIXaaabaGaaGinaiaad6gaaaGaeyipaWZaaSaaaeaacaWGUbaabaGa % aGinaiaad6gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaeyipaWZaaSaaae % aacaWGUbaabaGaamOBamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaa % iodacaWGUbaaaiabgYda8maalaaabaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaae % aacaWGUbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamOBaiabgUca % Riaaikdaaaaaaa!4C25! \[\frac{1}{{4n}} < \frac{n}{{4{n^2}}} < \frac{n}{{{n^2} + 3n}} < \frac{{n + 1}}{{{n^2} + n + 2}}\]$, тогда получается, что ряд расходится

[ИСН]

Так-то лучше.
Знак в первом неравенстве поправьте.

[SpBTimes]

Вот теперь похоже на правду.
Только первый знак - знак равенства.

А вообще можно было найти эквивалентный ряд, посмотрев на общий член в пределе, очевидно, что сразу вылезает $\frac{1}{n}$
А он расходится, значит и ваш расходится