Док-ть ограниченность последовательности

[dmitryf]

Подскажите, как внятно доказать ограниченность последовательностей: $x_{n+1} = \sqrt {x_ny_n}, y_{n+1} = \frac 1 n (x_n + y_n); x_1 = a > 0, y_1 = b > 0$? На пальцах я понимаю, что они будут ограничены a и b, поскольку среднее арифметическое и геометрическое не могут выйти за границы этого отрезка, но не совсем понимаю, как это строго показать.

Спасибо

[paha]

они не только ограниченны, но еще и монотонны (если вы там $n$ в знаменателе исправите)

[dmitryf]

Да, с доказательством монотонности все понятно. Сорри, ошибся $y_{n+1} = \frac 1 2 (x_n + y_n)$.

[Padawan]

Посмотрите том 1 Фихтенгольца, п. 35, пример 4 (в моем издании 73 стр.)