лагранжиан и колебания

[PoCTo]

Брусок массой $M $подвешен на невесомой пружине жесткостью $k$. Снизу в него попадает пластилиновый шарик массой $m$, летящий вертикально вверх со скоростью $v0$, и прилипает к бруску. Найти амплитуду $A$ возникающих при этом гармонических колебаний.

ввожу обобщенную переменную $x$, $x(0)=0$ - в начальный момент, $v(0)$ находится из сохранения (энергии:$ v(0)^2=\frac{v0^2*m}{M+m}$) не энергии, а импульса $v(0)=\frac{mv_0}{M+m}$
у точки, в которой пружина расслаблена, координата $\Delta x = \frac{-mg}{k}$ (т.к $mg=-k*\Delta x$), значит, имеем:
кинетическую энергию $K=m(x')^2/2$, потенциальную $P=(M+m)gx+k(x+\Delta x)/2$.
Но теперь непонятно, как из этого построить уравнение колебаний $x'' + \omega x=0$, там всегда получается свободный член, не знаю что с ним делать
$\frac{d}{dt}\left( \frac{dL}{dx'}\right) = (M+m)x''$, $\frac{dL}{dx}=(M+m)g+k(x+\Delta x)$
получается $ (M+m)x''+(M+m)g+k(x+\Delta x)=0$, со свободным членом, даже двумя.

[paha]

PoCTo в сообщении #388432 писал(а):

находится из сохранения энергии

ну... пластилин расплющился -- энергия пропала:(((

-- Пт дек 17, 2010 17:41:36 --

и что это за deltax?

[Himfizik]

Сохранение импульса, однако, есть...

[PoCTo]

ок, да, найду из импульса теперь, но суть не в это

-- Пт дек 17, 2010 17:47:26 --

paha в сообщении #388434 писал(а):

и что это за deltax?

это $\Delta x$ - изначальное растяжение пружины

-- Пт дек 17, 2010 17:49:35 --

суть же в том, что я не знаю, куда деть свободный член

[paha]

ищите в сети: решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами... а еще лучше: выберете начало координат по-другому

[PoCTo]

допустим, я нашел решение, оно получилось $x=c_1+c_3\cos{(c_2*t)}$, где c1 и с2 и с3 - это некоторые константы связанные с данными.
Как тогда найти амплитуду? если бы был только косинус, то амплитуда была бы c3, a так - не понимаю.

[Munin]

Амплитудой называется коэффициент при косинусе.

[paha]

PoCTo в сообщении #388453 писал(а):

допустим, я нашел решение, оно получилось $x=c_1+c_3\cos{(c_2*t)}$,

что-то мне не верится, что сдвига фазы в данной задаче нет

хотя, я могу и ошибаться

[PoCTo]

я ошибся.
там решение$c_1 \sin(\sqrt{a}t)+c_2 \cos(\sqrt{a}t) +c_3$
сдвига нет, но теперь я точно не верю, что амплитуда - это только коэффициент при косинуса, да и с ответом не совпадает, если только

[Munin]

PoCTo в сообщении #388541 писал(а):

сдвига нет, но теперь я точно не верю, что амплитуда - это только коэффициент при косинуса

Конечно. Когда в формуле есть синус и косинус, амплитуда - это не коэффициент при косинусе. Когда в формуле есть синус и косинус (одной частоты, разумеется), формулу можно преобразовать к одному слагаемому, типа:
$A\sin\alpha t+B\cos\beta t=C\cos(\gamma t+\varphi_0),$
и вот тогда уже $C$ будет амплитудой. Кроме того, можно преобразовывать к $\sin(\gamma t+\varphi_0),$ к $\mathop{\mathrm{Re}}e^{\gamma t+\varphi_0},$ к $\mathop{\mathrm{Im}}e^{\gamma t+\varphi_0},$ везде коэффициент перед этим выражением будет один и тот же, и будет называться амплитудой.

[paha]

Munin в сообщении #388561 писал(а):

$A\sin\alpha t+B\cos\beta t=C\cos(\gamma t+\varphi_0),$

вот он, сдвиг фазы:)))

[PoCTo]

Ох Я где-то ошибся, нужно проверить ошибку в дифуре...
Уравнение лагранжа выглядит у меня $(M+m)x''+(M+m)g+k(x+\Delta x)=0$.
$x''+g+\frac{k}{(M+m)}(x+\Delta x)=0$
$x''+x\frac{k}{(M+m)}+g+\frac{k\Delta x}{(M+m)}=0$
т.к. дельта икс - начальное положение пружины, то $Mg+k\Delta x =0$
значит остается:
$x''+x\frac{k}{(M+m)}+\frac{gm}{(M+m)}=0$
Решаем однородное:
$x=c_1\cdot \sin\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)+c_2\cdot \cos\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)$
тогда решением неоднородного будет
$x=c_1\cdot \sin\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)+c_2\cdot \cos\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)+K$
$x''=-c_1\cdot \frac{k}{(M+m)} \cdot \sin\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)-c_2\cdot \frac{k}{(M+m)} \cdot \cos\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)$
подставляем, находим $K=-\frac{ \frac{gm}{(M+m)} } { {\frac{k}{(M+m)}}}=-\frac{mg}{k}$
итого:
$x=c_1\cdot \sin\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)+c_2\cdot \cos\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)-\frac{mg}{{k}}$
имеем: $x(0)=0$
$x(0)=c_2-\frac{mg}{{k}}$
, так что
$c_2=\frac{mg}{{k}}$
имеем: $x'(0)=v(0)=\frac{mv_0}{M+m}$
$x'=c_1\cdot \sqrt{\frac{k}{(M+m)}} \cdot \cos\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)-c_2\cdot \sqrt{\frac{k}{(M+m)}} \cdot \sin\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)$
$x'(0)=c_1\cdot \sqrt{\frac{k}{(M+m)}}=\frac{mv_0}{M+m}$
поэтому
$c_1=\frac{\frac{mv_0}{M+m}}{\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}}=\frac{mv_0}{\sqrt{k(M+m)}}$
итак:
$x=\frac{mv_0}{\sqrt{k(M+m)}}\cdot \sin\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)+\frac{mg}{{k}}\cdot \cos\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right)-\frac{mg}{{k}}$
$x=\frac{m}{k\sqrt{(M+m)}}\left( v_0\sqrt{k}\cdot \sin\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right) + g\sqrt{M+m}\cdot \cos\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}\right) - g\sqrt{M+m} \right)$
$x=\frac{m\sqrt{kv_0^2+g^2(M+m)}}{k\sqrt{(M+m)}}\left( \cos\left(t\sqrt{\frac{k}{(M+m)}}-\phi\right)-g\sqrt{M+m}\right)$

получается амплитуда равна
$A=\frac{m\sqrt{kv_0^2+g^2(M+m)}}{k\sqrt{(M+m)}}=\frac{mg}{k}\cdot \sqrt{1+\frac{kv_0^2}{(M+m)g^2}}$

ответ таков: $A=\frac{mg}{k}\cdot \sqrt{1+\frac{kv_0^2}{(M+m)g^2}}$
не понимаю даже, где я мог потерять корень из $M+m$
ура, всё верно!

[paha]

PoCTo в сообщении #388794 писал(а):

Ох Я где-то ошибся, нужно проверить ошибку в дифуре...

проверяйте размерность на каждом шаге

[PoCTo]

ну да, я дурак, криво вынес за скобки в последнем шаге :) спасибо за помощь!