ДифУр. Приведение к каноническому виду.

[Lexivore]

Имеем уравнение: $\sum\limits_{l<k,k=1}^{n}u_{x_lx_k}=0$, где $u_{x_lx_k}={\frac{\partial^2{u}}{\partial{x_lx_k}}}$.
Поскольку это уравнение с постоянными коэффициентами, то замена нужна линейная. Я пробовал выписать матрицу этой формы и получить замену с помощью некоторых махинаций с ней (по аналогии с другими такими заданиями, которые я решал), однако она не привела форму к каноническому виду. Какими другими методами стоит попробовать найти замену?

[ewert]

Поимейте в виду, что Ваша матрица -- это фактически

$$\begin{pmatrix}0&{1\over2}&{1\over2}&\ldots&{1\over2}\\ {1\over2}&0&{1\over2}&\ldots&{1\over2}\\ {1\over2}&{1\over2}&0&\ldots&{1\over2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ {1\over2}&{1\over2}&{1\over2}&\ldots&0 \end{pmatrix}$$

У неё, очевидно, есть $(n-1)$-кратное собственное число, равное $-{1\over2}$. И остаётся только угадать оставшееся простое (в смысле угадать отвечающий ему собственный вектор, что достаточно очевидно).

[Lexivore]

Последнее собственное число это несомненно ${\frac{n-1}{2}}$.

-- Пт дек 17, 2010 23:09:35 --

Собственным вектором, отвечающим этому числу будет $x=(1,\ldots,1,n)$

[ewert]

Ну в принципе да, только самый последний эн-то тут при чём?... (это даже и симметрии задачи противоречит, не говоря уж о формальностях)

[Lexivore]

Ну это я его неформально так назвал, по порядку отыскания :)
А в чем собственно дальше заключается идея?

[ewert]

А я не знаю, в чём вопрос, потому не знаю и идеи.

Что отыскать-то надо: сигнатуру?... -- ну так она и найдена.

Или конкретную замену переменных? -- Ну так одна из новых переменных опять же найдена (она диктуется последним собственным вектором), а все прочие можно выбирать как угодно, в пределах ортогональности тому последнему орту.

[Lexivore]

Нужно отыскать канонический вид данного уравнения, для чего нужно отыскать конкретную замену, которая приводит его к каноническому виду. Увы, взяв замену, как вы предлагаете, к каноническому виду уравнение не приводится. Если я не ошибаюсь то такая замена единственная, с точностью до перенумеровки переменных и до множителя в каждой конкретной компоненте?