Полнота системы уравнений Максвелла

[Sidar]

Полнота системы уравнений Максвелла

Для полной комплектности системы уравнений Максвелла (или фундаментальных уравнений электромагнитодинамики) в ней должны быть (кроме двух соотношений для поля зарядов по теореме Гаусса) четыре основных уравнения [два Закона полного тока (электрического и магнитного) и два Закона индукции (магнитоэлектрической и электромагнитной)], что и обосновано в опубликованной статье - Сидорович А. М., К бинарно-инверсной интерпретации уравнений Максвелла и индукционных явлений // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук, 1980, № 3, с. 126. (Деп. в ВИНИТИ, № 4119-79 Деп.).
Система уравнений Максвелла дополнена также обобщённым Законом электромагнитной индукции в новой интерпретации [Sidorovich A. M. Electromagnetic Induction (New Conception). – Proc. of Int. Symp. ISEF’87, Pavia (Italy), 1987, p. 25 – 27.], учитывающим намагничивающее действие магнитодинамических сил на магнетик, движущийся в электрическом поле, которое отсутствовало у Максвелла, что и было в свое время отмечено Людвигом Больцманом в Примечаниях ко 2-ому (немецкому) переизданию работ Дж. Кл. Максвелла [Джемс Клерк МАКСВЕЛЛ. Избранные сочинения по теории электромагнитного полч. – М.: ГТТИ, 1954, с. 226.].
Так сколько-же основных уравнений (из вышеприведенных четырёх Законов) на самом деле содержала система уравнений Масвелла?!
P. S.
Классические явления динамической индукции (тесты)
ссылка удалена

whiterussian:

Sidar,
Вынуждена сделать Вам замечание. Тема должна быть самодостаточна. Я позволила себе выделить Ваш вопрос жирным шрифтом.

По правилам форума избегайте излишнего использования заглавных букв.

[Munin]

Sidar в сообщении #367322 писал(а):

Сидорович А. М., К бинарно-инверсной интерпретации уравнений Максвелла и индукционных явлений // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук, 1980, № 3, с. 126. (Деп. в ВИНИТИ, № 4119-79 Деп.).

Простите, а у вас не сохранилось рецензии на эту статью? Не могли бы вы её привести?

[Sidar]

Munin в сообщении #367380 писал(а):

Sidar в сообщении #367322 писал(а):

Сидорович А. М., К бинарно-инверсной интерпретации уравнений Максвелла и индукционных явлений // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук, 1980, № 3, с. 126. (Деп. в ВИНИТИ, № 4119-79 Деп.).

Простите, а у вас не сохранилось рецензии на эту статью? Не могли бы вы её привести?

========================,,
Сидорович А. М., К бинарно-инверсной интерпретации уравнений Максвелла и индукционных явлений // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук, 1980, № 3, с. 126. (Деп. в ВИНИТИ, № 4119-79 Деп.).
--------------------------------------
Копия Отзыва Рецензента по статье сохранилась, в ней всего 6 строк.
Отмечается, что «Статья Сидоровича носит в основном методический характер и посвящена сопоставлению следствий, вытекающих из уравнений…
Её результаты могут представить интерес только для узкого круга специалистов, поэтому статью целесообразно депонировать в ВИНИТИ.».

[Munin]

Большое спасибо.

-- 30.10.2010 18:47:28 --

Добавлю, что сегодня используемая форма уравнений Максвелла была составлена Хевисайдом (носит также названия уравнений Хевисайда и даже уравнений Лоренца), и считается достаточной для постановки и решения корректных задач математической физики.

[Sidar]

Пожалуй, можно определённо констатировать, что Дж. Кл. Максвеллом в его Общей системе уравнений электромагнитного поля первоначально, со времени введения им понятия «тока смещения» (1862 г.) в работе «О физических силовых линиях», использовались три основных уравнения, а именно (в дифференциальной форме):

$rot\mathbf{H} = \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial{t}} + j$ (I)

$rot \mathbf{E} = - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial{t}}}$ (II)

$\mathbf{E} = [\mathbf{v}\mathbf{B}] - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial{t}} - grad \phi$ (III)

В последующих работах - «Динамическая теория электромагнитного поля» (1864 г.) и «Трактат об электричестве и магнетизме» (1873 г.) - эта система уравнений приводилась им в виде формализованной системы только с двумя основными уравнениями (I) и (III). Мотивы такой группировки математических уравнений вполне объяснимы, так как у Максвелла была необходимость обосновать (кроме явлений в переменных полях) также и явление Фарадеевой магнитоэлектрической униполярной индукции (1831 г.) при движении тел в стационарном магнитном поле.
Отсюда следует вывод, что в Общей системе уравнений Максвелла отсутствует четвёртое основное уравнение для действительной «электромагнитной индукции», связанной также с намагничиванием тел при их движении через стационарное электрическое поле:

$\mathbf{H} = [\mathbf{D}\mathbf{v}] + \frac{\partial{\mathbf{A_{e}}}}{\partial{t}}$ (IV)

Частично (без униполярной составляющей) явление электромагнитной индукции косвенно учитывается через понятие «тока смещения Максвелла» в «Законе полного электрического тока» согласно уравнению (I). Необходимость вышеотмеченной симметризации уравнений Максвелла в отношении явлений индукции отмечена и обоснована достаточно давно (1980 г.) в депонированной статье – [Сидорович А. М., К бинарно-инверсной интерпретации уравнений Максвелла и индукционных явлений // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук, 1980, № 3, с. 126. (Деп. в ВИНИТИ, № 4119-79 Деп.)].
Примечание:
Обзор (в хронологическом порядке) различных форм системы уравнений Максвелла в модификации самого Максвелла и его последователей (Хевисайда, Герца, Лоренца и др.) приведен в Табл. 1 статьи - [Маркчев Н. Т. Сравнение различных форм системы уравнений Максвелла. – В кн.: Максвелл и развитие физики XIX - XX веков: Сб. статей. - М: Наука, 1985, с. 84 - 96.].

[Munin]

Sidar в сообщении #385509 писал(а):

Обзор (в хронологическом порядке) различных форм системы уравнений Максвелла в модификации самого Максвелла и его последователей (Хевисайда, Герца, Лоренца и др.) приведен в Табл. 1 статьи - [Маркчев Н. Т. Сравнение различных форм системы уравнений Максвелла. – В кн.: Максвелл и развитие физики XIX - XX веков: Сб. статей. - М: Наука, 1985, с. 84 - 96.].

Не будете ли так любезны привести здесь эту таблицу?

Действительно, уравнения $\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$ у Максвелла не фигурирует, однако оно элементарно выводимо из двух других, у Максвелла везде наличествующих:
$\displaystyle \mathbf{E}=\mu[\mathbf{v}\mathbf{H}]-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\mathop{\mathrm{grad}}\varphi$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{A}=\mu\mathbf{H}=\mathbf{B}\quad\quad\quad\quad(*)$
очевидно, взятием ротора от первого и подстановкой в него второго. Для истории науки несущественно, кто сделал эту подстановку, очевидно, приводя уравнения к более симметричному виду: сам Максвелл, Герц, Хевисайд или Лоренц, или кто-то ещё. Уравнения составляют равноценные системы и в том, и в другом случае. Нужды во введении четвёртого уравнения не возникает, поскольку его роль успешно выполняет (*). А симметризация уравнений Максвелла, достигнутая Герцем-Хевисайдом-Лоренцем, вполне достаточна для всех наблюдаемых классических явлений.

[Sidar]

Munin в сообщении #385549 писал(а):

Sidar в сообщении #385509 писал(а):

Обзор (в хронологическом порядке) различных форм системы уравнений Максвелла в модификации самого Максвелла и его последователей (Хевисайда, Герца, Лоренца и др.) приведен в Табл. 1 статьи - [Маркчев Н. Т. Сравнение различных форм системы уравнений Максвелла. – В кн.: Максвелл и развитие физики XIX - XX веков: Сб. статей. - М: Наука, 1985, с. 84 - 96.].

Не будете ли так любезны привести здесь эту таблицу?

Действительно, уравнения $\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$ у Максвелла не фигурирует, однако оно элементарно выводимо из двух других, у Максвелла везде наличествующих:
$\displaystyle \mathbf{E}=\mu[\mathbf{v}\mathbf{H}]-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\mathop{\mathrm{grad}}\varphi$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{A}=\mu\mathbf{H}=\mathbf{B}\quad\quad\quad\quad(*)$
очевидно, взятием ротора от первого и подстановкой в него второго. Для истории науки несущественно, кто сделал эту подстановку, очевидно, приводя уравнения к более симметричному виду: сам Максвелл, Герц, Хевисайд или Лоренц, или кто-то ещё. Уравнения составляют равноценные системы и в том, и в другом случае. Нужды во введении четвёртого уравнения не возникает, поскольку его роль успешно выполняет (*). А симметризация уравнений Максвелла, достигнутая Герцем-Хевисайдом-Лоренцем, вполне достаточна для всех наблюдаемых классических явлений.

==================================

Табл. 1 из статьи Маркчева довольно обширна (5 стр.). Сканировать и разместить её здесь в данный момент затруднительно.

Что касается «равноценности» упомянутых уравнений, то вопрос несколько сложнее, так как уравнения законов полного тока не тождественны всецело уравнениям законов индукции. Хотя, действительно, из уравнения (III) выводится уравнение (II) взятием ротора и подстановкой выражения магнитного векторного потенциала (и даже - наоборот), это никак не отрицает закономерности предлагаемого уравнения (IV), из которого подобным образом выводится уравнение ((I). Для этого необходимо использование понятия «электрического векторного потенциала» $D = rot\mathbf{A_{e}}$, которое у Максвелла также отсутствует.

«А симметризация уравнений Максвелла, достигнутая Герцем-Хевисайдом-Лоренцем,» в виде системы двух основных урарнений в известной мере «достаточна для всех наблюдаемых классических явлений» в переменных полях и при распространении волн, но не достаточна для обоснования процессов униполярной индукции, где эту роль, в частности у Лоренца, выполняет отдельное уравнение для «силы Лоренца».

[Анатолий Григорьев]

Вообще-то в природе не существует магнитного поля и все уравнения Максвелла к нему относящиеся - не более чем удобный и наглядный математический приём.

pittite:

Предупреждение за нарушение Правил форума, раздел III-4.

[Munin]

Sidar в сообщении #386318 писал(а):

Табл. 1 из статьи Маркчева довольно обширна (5 стр.). Сканировать и разместить её здесь в данный момент затруднительно.

А в чём проблема? Не 50 стр. Я подожду, ради такого дела. Но другими способами она мне недоступна, к сожалению.

Sidar в сообщении #386318 писал(а):

Что касается «равноценности» упомянутых уравнений, то вопрос несколько сложнее, так как уравнения законов полного тока не тождественны всецело уравнениям законов индукции.

Я не знаком с терминологией "уравнения законов полного тока", "уравнения законов индукции". Это что-то из терминов, введённых Максвеллом и его коллегами? Сегодня эти уравнения классифицируют иначе (разве только уравнение непрерывности осталось уравнением непрерывности), и тождественность между ними устанавливают тоже иначе.

Sidar в сообщении #386318 писал(а):

это никак не отрицает закономерности предлагаемого уравнения (IV)

Что такое "закономерность уравнения"?

Sidar в сообщении #386318 писал(а):

«А симметризация уравнений Максвелла, достигнутая Герцем-Хевисайдом-Лоренцем,» в виде системы двух основных урарнений в известной мере «достаточна для всех наблюдаемых классических явлений» в переменных полях и при распространении волн, но не достаточна для обоснования процессов униполярной индукции

Может быть, вы приведёте конкретную ситуацию, для которой уравнений Максвелла недостаточно?

И наконец, серьёзный вопрос. Как вы понимаете, почему Максвелл писал уравнение (III) в форме
$\displaystyle \mathbf{E}=\mu[\mathbf{v}\mathbf{H}]-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\mathop{\mathrm{grad}}\varphi,\quad\quad\quad\quad\mathrm{(III-Max)}$
а сегодня его (точнее, аналогичное) пишут в форме
$\displaystyle \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\mathop{\mathrm{grad}}\varphi\quad\quad\quad\quad\mathrm{(III-Mod)}$
?

[Sidar]

Для определённости понятия «Система уравнений Максвелла» следует различать:
- Общую систему уравнений Максвелла [1862 г., с основными уравнениями (I), (II), (III)].
- Формализованную систему уравнений Максвелла [1864 и 1873 г., с двумя основными уравнениями (I), (III)].
Обе вышеупомянутые системы уравнений Максвелла являются асимметричными и неполными в отношении явлений униполярной индукции.

Симметричная «Общая система уравнений электромагнитодинамики» имеет следующий вид (в дифференциальной форме) [Сидорович А. М., К бинарно-инверсной интерпретации уравнений Максвелла и индукционных явлений // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук, 1980, № 3, с. 126.]:

Закон полного электрического тока
$rot\mathbf{H} = \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial{t}} + \delta_e$ (I - SS)

Закон полного магнитного тока
$rot\mathbf{E} = - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial{t}}} - \delta_m$ (II - SS)

Закон магнитоэлектрической индукции
$rot\mathbf{E} = -(\pm)\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial{t}} –(\mp)rot[\mathbf{v}\mathbf{B}]$ (III - SS)

Закон электромагнитной индукции
$rot\mathbf{H} = -(\mp)\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial{t}} –(\pm)rot[\mathbf{v}\mathbf{D}]$ (IV - SS)

-----------------------------------------------------------------------
Примечание:
Попарной группировкой соответствующих соотношений из общей системы уравнений электромагнитодинамики образуются формализованные системы из двух основных уравнений, адекватные модификациям уравнений самого Максвелла и его последователей (Г. Герца, О. Хевисайда, Г. А. Лоренца, В. К. Аркадьева и др.).

[Munin]

Sidar в сообщении #387862 писал(а):

Для определённости понятия «Система уравнений Максвелла» следует различать:- Общую систему уравнений Максвелла [1862 г., с основными уравнениями (I), (II), (III)].- Формализованную систему уравнений Максвелла [1864 и 1873 г., с двумя основными уравнениями (I), (III)].

Не стоит. Ни то ни другое системой уравнений Максвелла не называется. А система из приведённых вами уравнений (I) и (III), к тому же, неполна. Я уже говорил, необходимо учитывать ещё (*) [ post385549.html#p385549 ], что у Максвелла везде есть, а у вас нет. Как называется умышленное умолчание об одном из важнейших компонентов системы уравнений при изложении исторических фактов?

Кроме того, напоминаю, что я задал вам важный вопрос, а вы его проигнорировали. И ещё, я жду таблицу Маркчева.

[Sidar]

Munin в сообщении #386494 писал(а):

Sidar в сообщении #386318 писал(а):

Табл. 1 из статьи Маркчева довольно обширна (5 стр.). Сканировать и разместить её здесь в данный момент затруднительно.

А в чём проблема? Не 50 стр. Я подожду, ради такого дела. Но другими способами она мне недоступна, к сожалению.

..........................................................
И наконец, серьёзный вопрос. Как вы понимаете, почему Максвелл писал уравнение (III) в форме
$\displaystyle \mathbf{E}=\mu[\mathbf{v}\mathbf{H}]-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\mathop{\mathrm{grad}}\varphi,\quad\quad\quad\quad\mathrm{(III-Max)}$
а сегодня его (точнее, аналогичное) пишут в форме
$\displaystyle \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\mathop{\mathrm{grad}}\varphi\quad\quad\quad\quad\mathrm{(III-Mod)}$
?

=================================
Соотношения для магнитного и электрического векторных потенциалов являются необходимым и неотъемлемым дополнением (также как и материальные уравнения) к основным уравнениям идинамической индукции:

Обобщённое уравнение магнитоэлектрической индукции
$\mathbf{E} = [\mathbf{v}\mathbf{B}] - \frac{\partial\mathbf{A_{M}}}{\partial{t}} - grad \phi$ (III)
Где $\mathbf{B} = rot {\mathbf{A_{m}}}$ (III - A)

Обобщённое уравнение электромагнитной индукции
$\mathbf{H} = [\mathbf{D}\mathbf{v}] + \frac{\partial{\mathbf{A_{e}}}}{\partial{t}}$ (IV)
Где $\mathbf{D} = rot {\mathbf{A_{e}}}$ (IV - A)

В сокращённом виде ()без «униполярной» составляющей) уравнение (III) приводится в более ранней работе Максвелла (1856 г.) «О фарадееых силовых линиях». Сопутствующее ему уравнение (*) для векторного потенциала никак не может относиться к предлагаемому уравнению (IV) и, тем более, его заменять.

P. S.
Разместить здесь Табл. 1 Маркчева не представляется возможным по техническим причинам (нег ни сканера, и флэшки) и прочим обстоятельствам.

[Munin]

Sidar в сообщении #388251 писал(а):

Соотношения для магнитного и электрического векторных потенциалов являются необходимым и неотъемлемым дополнением (также как и материальные уравнения) к основным уравнениям идинамической индукции

Простите, поскольку потенциалы - величины не наблюдаемые, то соотношения для них необходимыми и неотъемлемыми быть не могут. Это вопрос удобства, записывать ли соотношения для потенциалов, или для их производных - напряжённостей. Можно даже записать систему уравнений для производных от напряжённостей, причём сколь угодно высокого порядка, просто это усложнит решение задач: после решения системы уравнений, придётся искать первообразные от решения, попутно избавляясь от неоднозначностей. (Этот процесс доводится только до напряжённостей, потому что потенциалы ненаблюдаемы и не нужны.) Поэтому в ходу в основном два варианта: система уравнений для напряжённостей, и система уравнений для потенциалов. Разумеется, они эквивалентны

Предлагаемый вами вариант с магнитным потенциалом давно известен, ничего нового не привносит, в том смысле, что также эквивалентен используемым вариантам, и не используется по той причине, что не даёт никаких дополнительных удобств. (Впрочем, в магнитной технике - иногда используется.)

Sidar в сообщении #388251 писал(а):

Сопутствующее ему уравнение (*) для векторного потенциала никак не может относиться к предлагаемому уравнению (IV) и, тем более, его заменять.

Вы же, вроде, убедились, что из системы с (*) выводится то же, что и из системы с (IV). В чём проблема?

Несмотря на то, что вы процитировали мой вопрос, вы так на него и не ответили. Я его задаю уже в третий раз: почему вместо (III-Max) пишут (III-Mod)? Ответ на него существенен для дальнейшего обсуждения, так что не избегайте его.

Sidar в сообщении #388251 писал(а):

Разместить здесь Табл. 1 Маркчева не представляется возможным по техническим причинам (нег ни сканера, и флэшки) и прочим обстоятельствам.

Вы можете найти другие возможности отсканировать эту таблицу, или даже просто перенести её сюда вручную, списав на бумагу, и набрав на форуме в $\LaTeX.$ К сожалению, повторяю, у меня нет других возможностей с ней ознакомиться, поэтому я повторяю свою просьбу. Время отнюдь не торопит, но мне важно было бы хотя бы знать, что вы восприняли мою просьбу, а не отклонили её.

[Sidar]

Munin в сообщении #386494 писал(а):

[quote="Sidar в сообщении #386318 писал(а):

«А симметризация уравнений Максвелла, достигнутая Герцем-Хевисайдом-Лоренцем,» в виде системы двух основных урарнений в известной мере «достаточна для всех наблюдаемых классических явлений» в переменных полях и при распространении волн, но не достаточна для обоснования процессов униполярной индукции

Может быть, вы приведёте конкретную ситуацию, для которой уравнений Максвелла недостаточно?
quote]
=======================================
Такая конкретная ситуация неполноты системы уравнений Максвелла отмечена в исходной постановочной части данной темы на этом форуме. Уравнений Максвелла, также как и их модификаций Хевисайдом, Герцем, Лоренцем, не достаточно для обоснования принципа действия (в частности, индукционных процессов) целого класса «магнитных индуктивных машин» и преобоазователей с электрическим полем возбуждения, аналогичных классу «электрических индуктивных машин» и преобразователей с магнитным полем возбуждения.
Этого примера более чем достаточно для определённых предварительных выводов в отношении полноты системы уравнений Максвелла.

-- Вс дек 19, 2010 00:54:17 --

Munin в сообщении #388328 писал(а):

Пр
[quote="Sidar в сообщении #388251 писал(а):

Сопутствующее ему уравнение (*) для векторного потенциала никак не может относиться к предлагаемому уравнению (IV) и, тем более, его заменять.

Вы же, вроде, убедились, что из системы с (*) выводится то же, что и из системы с (IV). В чём проблема?

Несмотря на то, что вы процитировали мой вопрос, вы так на него и не ответили. Я его задаю уже в третий раз: почему вместо (III-Max) пишут (III-Mod)? Ответ на него существенен для дальнейшего обсуждения, так что не избегайте его.
[.

==============================
Из уравнения (*) $rot\mathbf{A} = \mu\mathbf{H} = \mathbf{B}$ уравнение (IV) $\mathbf{H} = [\mathbf{D}\mathbf{v}] + \dot{\mathbf{A}}_{e}$ отнюдь не выводится, вопреки вашему утвержденю, что «Нужды во введении четвёртого уравнения не возникает, поскольку его роль успешно выполняет (*).».
Что касается записи уравнений [вместо (III-Max) пишут (III-Mod)], то никакая это не модификация, так обе формы записи Максвелловские (только разнвх лет: 1856 г. и более поздних – 1862, 1864 и 1873 г), что уже было мною отмечено выше. Этот вопрос не ко мне, а к Максвеллу и к тем, кто вкладывает иной смысл в его предшествующие варианты уравнений, очевидно, при решении задач, в которых униполярная индукция не участвует.

[Munin]

Sidar в сообщении #389004 писал(а):

Такая конкретная ситуация неполноты системы уравнений Максвелла отмечена в исходной постановочной части данной темы на этом форуме. Уравнений Максвелла, также как и их модификаций Хевисайдом, Герцем, Лоренцем, не достаточно для обоснования принципа действия (в частности, индукционных процессов) целого класса «магнитных индуктивных машин» и преобоазователей с электрическим полем возбуждения, аналогичных классу «электрических индуктивных машин» и преобразователей с магнитным полем возбуждения.

Вы так и не раскрыли этого своего утверждения. По вашему мнению, там что-то недостаточно, а в учебниках всё прекрасно обосновывается. Так в чём же проблема?

Sidar в сообщении #389004 писал(а):

Этого примера более чем достаточно для определённых предварительных выводов в отношении полноты системы уравнений Максвелла.

Не раньше, чем вы соизволите всё-таки привести сам пример.

Sidar в сообщении #389004 писал(а):

Из уравнения (*) $rot\mathbf{A} = \mu\mathbf{H} = \mathbf{B}$ уравнение (IV) $\mathbf{H} = [\mathbf{D}\mathbf{v}] + \dot{\mathbf{A}}_{e}$ отнюдь не выводится, вопреки вашему утвержденю, что «Нужды во введении четвёртого уравнения не возникает, поскольку его роль успешно выполняет (*).».

Разумеется, не выводится, но я этого и не утверждал! Я говорил о взаимозаменяемости систем уравнений, отличающихся между собой на уравнение (*) и (IV).

Sidar в сообщении #389004 писал(а):

Что касается записи уравнений [вместо (III-Max) пишут (III-Mod)], то никакая это не модификация, так обе формы записи Максвелловские (только разнвх лет: 1856 г. и более поздних – 1862, 1864 и 1873 г), что уже было мною отмечено выше. Этот вопрос не ко мне, а к Максвеллу и к тем, кто вкладывает иной смысл в его предшествующие варианты уравнений, очевидно, при решении задач, в которых униполярная индукция не участвует.

Нет, это вопрос именно к вам, поскольку вы пользуетесь обозначениями, принятыми в современной физике и матанализе, в которых и записано, например, (III-Mod). Если вы не понимаете обозначений или не умеете оговаривать их смысл, дело плохо. Поэтому я вас и спрашиваю об этом понимании.

Чтобы вы не увиливали дальше, совсем конкретный вопрос: что такое $\mathbf{v}$?