Какие три функции координат образуют векторное поле?

[Munin]

paha в сообщении #388260 писал(а):

все-таки не "по", а "с помощью", или "посредством" -

Ну, в смысле, что таких изоморфизмов в конечном счёте может быть много разных, так что данный - привязан к данному произведению.

paha в сообщении #388260 писал(а):

в координатном и бескоординатном представлении... одному богу молимся, но по-разному

Ой, это не идеология. Это что-то типа выбора инструментария, более подходящего для той или иной работы. Типа, писать прямым шрифтом или курсивом. Звания идеологии, как мне кажется, заслуживают более важные вопросы.

-- 17.12.2010 10:35:07 --

Vallav в сообщении #388307 писал(а):

В случае трехмерного пространства ( я полагаю, исходный вопрос был именнопро него ) скалярное произведение наличиствует?

В случае трёхмерного пространства физических пространственных координат - скалярное произведение обычно наличествует, хотя можно и без него. Исходный вопрос был про него, но тот ответ, к которому вы придрались - далеко не про него. Ваш стиль придирок вам не поможет.

Vallav в сообщении #388307 писал(а):

Градиент скалярной функции - векторное поле?

Нет. Ковекторное.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

paha в сообщении #387959 писал(а):

Разумеется, тогда не любая "функция координат" есть вектор. Например, градиент скалярной функции -- не вектор.

Скажите, пожалуйста, на основе чего Вы пришли к такому выводу? Ведь в самых авторитетных учебниках и в Интернет-источниках утверждается обратное: градиент скалярной функции – вектор: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0% ... 0%BB%D0%B5
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_field
http://www.youtube.com/watch?v=CmoxhxK8Org

shwedka в сообщении #387975 писал(а):

Правильно, он преобразуется по другому закону.

Этой фразой Вы подтверждаете позицию paha.

Цитата:

Но если не интересоваться другими системами координат, а одну из них зафиксировать, то любая вектор-функция нужной размерности с нулевым ротором может служить представлением градиента в этой системе

А этой фразой отрицаете свое же прежнее утверждение и позицию paha. Или я, возможно, что-то не понял в Вашем комментарии? Поэтому для улучшения взаимопонимания поясните, пожалуйста, эту ситуацию на Вашем же конрпримере; имеется предполагаемый вектор с нулевым ротором и нулевой дивергенцией, компоненты которого $\[ x,y, - 2z \]$. Скажите, пожалуйста, какими формулами и соответствующими авторитетними ссылками Вы можете подтвердить, что три функции $\[ x,y, - 2z \]$ действительно образуют векторное поле, т.е. являються компонентами вектор-функции.
«Конрпример убивает теорему». Это когда-то, по-моему, сказала shwedka.
Тогда и проясним ситуацию где находится истина в этой дискуссии

Munin в сообщении #388317 писал(а):

Vallav в сообщении #388307 писал(а):

Цитата:

Градиент скалярной функции - векторное поле?

Нет. Ковекторное.

А тепер ответ на вопрос shwedk-и

Цитата:

Что такое векторное поле в Вашем понимании?

По поводу определения этого понятия я уже отвечал

Александр Козачок в сообщении #387681 писал(а):

Для формулирования корректного определения требуется кропотливая работа профессионалов по многим направлениям теории поля.

Похоже, что я не ошибся, судя по наметившемуся уклону обсуждения в сторону «Большой физики» и «Чистой математики». Что касается краткого определения, то к традиционному классическому определению http://www.exponenta.ru/educat/class/co ... /theme.asp

Цитата:

Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле (поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности).

я могу лишь добавить пункт о свойствах этого вектора, вытекающих из анализа уравнения векторных линий. Это именно то, что мы здесь обсуждаем. А вот свое понимание по этому поводу я уже подробнейшим образом изложил

Александр Козачок в сообщении #383035 писал(а):

Поэтому я для нашего общего взаимопонимания постарался скомпоновать совершенно элементарный вывод, на мой взгляд, подчеркивающий природу уравнения.

Вы же со своей стороны проявили солидарность с моими представлениями

shwedka в сообщении #383054 писал(а):

соглашаюсь со всеми Вашими формулами и интерпретациями, кроме деления на вектор.

Это совершенно не означает, что к сказанному нечего добавить. Поэтому я обращаюсь ко всем Участникам обсуждения, давайте совместно, без взаимных упреков, по силе своих возможностей, проясним ситуацию по этой важнейшей проблеме.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Александр Козачок в сообщении #388338 писал(а):

я могу лишь добавить пункт о свойствах этого вектора, вытекающих из анализа уравнения векторных линий.

А вот этого добавлять не нужно,поскольку, как я показала много раз, это является Вашей безграмотной и невнятной самодеятельностью.
Невнятной, поскольку Вы не можете дать четкой формулировки якобы доказываемых утверждений,
Безграмотной, поскольку Вы демонстрируете невежество и путаницу в основных понятиях математики.

Александр Козачок в сообщении #388338 писал(а):

Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле (поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности).

Ответ не считается. Здесь
а. Не написано, что Вы с этим определением согласны (что дает Вам возможность делать вокруг него пируэты)
б. Не написано, что такое в Вашем понимании вектор.


Так что жду полного ответа на вопрос.

Александр Козачок в сообщении #388338 писал(а):

Скажите, пожалуйста, какими формулами и соответствующими авторитетними ссылками Вы можете подтвердить, что три функции $\[ x,y, - 2z \]$ действительно образуют векторное поле, т.е. являються компонентами вектор-функции.

Вам дано определение векторного поля. Общепринятое. Согласно этому определению, три функции $\[ x,y, - 2z \]$, да, действительно, образуют векторное поле.
Вопрос закрыт. Никаким контрпримером к определению векторного поля не является.

Видите, как удобно. Дано определение, подставили, проверили. А не по понятиям, как Вы хотите.

Александр Козачок в сообщении #388338 писал(а):

shwedka в сообщении #387975 писал(а):
Правильно, он преобразуется по другому закону.
Этой фразой Вы подтверждаете позицию paha.
Цитата:
Но если не интересоваться другими системами координат, а одну из них зафиксировать, то любая вектор-функция нужной размерности с нулевым ротором может служить представлением градиента в этой системе
А этой фразой отрицаете свое же прежнее утверждение и позицию paha. Или я, возможно, что-то не понял в Вашем комментарии?

А вот здесь Вы просто не разобрались.

Имеются векторы и ковекторы. Два связанных, но различных понятия. Когда система координат зафиксирована, то их не отличить. Потому в литературе, их иногда и не различают. Некоторая неточность языка, но вполне простительная, пока система координат зафиксирована. В аккуратном изложении, их различают даже и для фиксированнй системы.

Таким образом, если заданы три функции, то они могут быть и координатами вектора, и координатами ковектора
по нашему выбору, в зависимости от рассматриваемой задачи или, скажем, в зависимости от физического смысла в рассматриваемом процессе..
Но, опять же, в фиксированной системе координат.
Различие между векторами и ковекторами проявляется при переходе к другой системе. Они преобразуются по разным законам. Скорость - как вектор, градиент - как ковектор.

Это так, для Вашего образования.
Так что может предъявленная тройка функций рассматриваться в данной системе как векторное поле, скажем, поле скоростей ?-- да, может, и тогда для нее будут определенные выражение в иных системах координат.
Может она рассматриваться в данной системе координат как ковектор, скажем, как градиент? Да, может, но тогда у нее будет другое выражение в иных систенмах координат.

[Vallav]

Munin в сообщении #388317 писал(а):

Vallav в сообщении #388307 писал(а):

В случае трехмерного пространства ( я полагаю, исходный вопрос был именнопро него ) скалярное произведение наличиствует?

В случае трёхмерного пространства физических пространственных координат - скалярное произведение обычно наличествует, хотя можно и без него. Исходный вопрос был про него, но тот ответ, к которому вы придрались - далеко не про него. Ваш стиль придирок вам не поможет.

Мой стиль придирок?
Обсуждается вроде трехмерное пространство физических пространственных координат.
Полагаете, заявление - есть пространства, в которых это не так - это не
придирка, а нормальное развитие темы.
А вот напоминание - обсуждается вроде трехмерное пространство - это
придирка...

[paha]

Vallav в сообщении #388384 писал(а):

А вот напоминание - обсуждается вроде трехмерное пространство - это
придирка...

градиент не является вектором ни в каком векторном пространстве, если его размерность больше 1... и даже в одномерном, если рассматривать не только ортогональные проеобразования:

Пусть в $\mathbb{R}$ заданы две системы координат $x$ и $x'$, связанные соотношением $x=\varphi(x')$
Если у нас было векторное поле $F(x)$, то в штрихованной системе координат оно будет иметь вид $\frac{1}{d\varphi/dx'}F(\varphi(x'))$
В первой стстеме координат градиент функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ имеет координату $a=df/dx$, а в штрихованной $a'=d(f\circ\varphi)/dx'=(d\varphi/dx')\cdot (df/dx)=(d\varphi/dx')a$.
Закон преобразования не такой как у векторов.

[Munin]

Vallav в сообщении #388384 писал(а):

Мой стиль придирок?

Ага, вот он:

Vallav в сообщении #388384 писал(а):

Обсуждается вроде трехмерное пространство физических пространственных координат.

Нет.

Вы, якобы, лучше всех знаете, что на самом деле обсуждается, и что все вокруг имеют в виду, но на самом деле вы ориентируетесь в обсуждении хуже всех - поскольку ориентируетесь в предмете хуже всех. Именно это ваш стиль.

Vallav в сообщении #388384 писал(а):

Полагаете, заявление - есть пространства, в которых это не так - это не придирка, а нормальное развитие темы.

Не было такого заявления. Было нормальное развитие темы. Кстати, произведённое далеко не мной, я всего лишь объяснил вам, чего вы не поняли в объяснениях профессионалов. Кстати, в объяснениях, адресованных не вам.

Vallav в сообщении #388384 писал(а):

А вот напоминание - обсуждается вроде трехмерное пространство - это придирка...

К сожалению, такого напоминания не было, а если бы было, оно было бы некорректным (обсуждается, как всегда, не то, что вам кажется, будто обсуждается). И даже если принять эту вашу формулировку, всё равно, увы, в трёхмерном пространстве градиент скалярной функции - не вектор, а ковектор. Только при дополнительных структурах в этом пространстве (как у paha здесь: post388141.html#p388141 ), или оговорив другое пространство (как у меня здесь: post388317.html#p388317 ), можно не различать одно от другого, но можно и различать, как объясняет shwedka post388354.html#p388354 .

[Vallav]

Munin в сообщении #388420 писал(а):

Vallav в сообщении #388384 писал(а):

Мой стиль придирок?

Ага, вот он:

Vallav в сообщении #388384 писал(а):

Обсуждается вроде трехмерное пространство физических пространственных координат.

Нет.

Вы, якобы, лучше всех знаете, что на самом деле обсуждается, и что все вокруг имеют в виду, но на самом деле вы ориентируетесь в обсуждении хуже всех - поскольку ориентируетесь в предмете хуже всех. Именно это ваш стиль.

Однако.
Вы полагаете, запутать довольно простой вопрос - это правильное
ведение дискуссии?
Может спросить у автора исходного топика, что именно он имел в виду,
то есть в каком именно пространстве его интересовало векторное поле?

[paha]

Vallav в сообщении #388431 писал(а):

Может спросить у автора исходного топика, что именно он имел в виду,
то есть в каком именно пространстве его интересовало векторное поле?

еще раз: от размерности пространства тут ничего не зависит

[Munin]

Vallav в сообщении #388431 писал(а):

Вы полагаете, запутать довольно простой вопрос - это правильное ведение дискуссии?

Нет. Поэтому вам и не стоит заниматься дальше придирками, после того, как вам всё объяснили.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

Позвольте непрофессионалу, а случайно заинтересовавшемуся проблемой любителю, приобщиться к Вашей дискуссии. Мне кажется, что запись любого уравнения или выражения в векторной форме не должна зависеть от того, каким является это уравнение при покомпонентной записи, поскольку при повороте системы координат одномерный вектор в общем случае становится трехмерным. К каким недоразумениям в науке привела забывчивость такого сорта, мы с Вами сможем убедиться позднее.

paha в сообщении #388418 писал(а):

градиент не является вектором ни в каком векторном пространстве

Большое спасибо за разъяснение. А как же быть с учебниками, образовательными сайтами, энциклопедиями, где все наоборот?

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Александр Козачок в сообщении #388469 писал(а):

А как же быть с учебниками, образовательными сайтами, энциклопедиями, где все наоборот?

Вам же объяснили, что при фиксированной системе координат их не различить. Так и жили, называя и то, и другое векторами. Потом поняли (я даже не знаю, кто из великих это сделал, но подозреваю, что Гаусс или Риччи, а, может, Максвелл), что есть два типа векторов, которые преобразуются по-разному, и стали их называть ковариантными и контравариантными векторами, и в книжках продолжали писать векторы, только потом, при нужде, уточняя, какого типа, а потом, мне кажется, уже в 60-е или 70-е годы поняли, что слова ко- и контравариантные векторы-- не очень логичны, и стали их называть, как теперь, векторы и ковекторы, но тоже не сразу и не во все книги эта терминология проникла. Так что, скажем, в книгах по общей теории относительности 'старые' название до сих пор весьма часты.

Но все это чепуха. Кто хочет -- после третьей страницы разберется, а кто не хочет- не будем пальцем указывать-- притворяется, что не в состоянии с определениями примириться и шумит по-пустому, вместо того, чтобы на прямо заданные вопросы по существу отвечать.

[Vallav]

paha в сообщении #388433 писал(а):

Vallav в сообщении #388431 писал(а):

Может спросить у автора исходного топика, что именно он имел в виду,
то есть в каком именно пространстве его интересовало векторное поле?

еще раз: от размерности пространства тут ничего не зависит

Напряженность статического электрического поля - вектор.
И градиент скалярного потенциала.
То, что есть пространства, в которых ковектор отличается от вектора -
есть, ну и что? Мы то здесь обсуждаем вполне конкретное пространство.
В котором ковектор совпадает с вектором.

[paha]

я по-другому скажу о том же, о чем и shwedka

Александр Козачок в сообщении #388469 писал(а):

Большое спасибо за разъяснение. А как же быть с учебниками, образовательными сайтами, энциклопедиями, где все наоборот?

Градиент очень важен во всякого рода инженерии и входит в стандартный курс матана в любом ВТУЗе, но соответствующего алгебраического формализма (форма, двойственное пространство) в стандартном курсе нет.
Дело в том, что преобразование компонент векторов (столбцев) $v'=Av$ и ковекторов (строк) $l'=lB$ должны быть связаны соотношением $AB=E$ (единичная матрица). Поэтому для преобразования ковектора-столбца имеет место формула $l'^T=(A^{-1})^Tl^T$.



Однако, по счастливому стечению обстоятельств, мы умеем измерять длины и углы, а практические вычисления проводятся в прямоугольных (декартовых) координатах и изменения координат осуществляются ортогональными преобразованиями, а для них $AA^T=E$ и поэтому $l'^T=Al^T$, т.е. ковектора преобразуются как вектора.

Замечу, что транспонирование превращает ковектор (строку) в вектор (столбец), но такое соответствие корректно только пока мы работаем с выделенным классом базисов, переход между которыми осуществляется ортогональным преобразованием.

-- Пт дек 17, 2010 20:58:58 --

Vallav в сообщении #388507 писал(а):

То, что есть пространства, в которых ковектор отличается от вектора -
есть, ну и что? Мы то здесь обсуждаем вполне конкретное пространство.
В котором ковектор совпадает с вектором.

Вы и правда не понимаете? Разговор идет не о пространствах, а о системах координат, только в них можно измерить векторную величину (в отличии от скалярной, для которой координаты никакие не нужны).

[Vallav]

paha в сообщении #388512 писал(а):

Vallav в сообщении #388507 писал(а):

То, что есть пространства, в которых ковектор отличается от вектора -
есть, ну и что? Мы то здесь обсуждаем вполне конкретное пространство.
В котором ковектор совпадает с вектором.

Вы и правда не понимаете? Разговор идет не о пространствах, а о системах координат, только в них можно измерить векторную величину (в отличии от скалярной, для которой координаты никакие не нужны).

Похоже под заданием пространства мы понимаем разное.
Вы знаете, как измерить скалярную величину не используя соответствующего эталона? И как задать точку, в которой скалярная величина измерена не
задавая способа задания этой точки?
Кстати, векторная величина тоже измеряется с помощью эталонов, наличия
только системы координат ( способа задания точки ) не достаточно.

[Munin]

Vallav в сообщении #388507 писал(а):

Напряженность статического электрического поля - вектор.И градиент скалярного потенциала.

Это вы заблуждаетесь. Напряжённость электрического поля - 1-форма. Разумеется, она - градиент скалярного потенциала.

Vallav в сообщении #388507 писал(а):

Мы то здесь обсуждаем вполне конкретное пространство.

Что здесь обсуждаете вы - отдельный вопрос. Вы влезли в обсуждение не по делу, и до сих пор ваше участие в нём сводится к попыткам доказать, что обсуждение - именно о том, о чём вам кажется, а не его непосредственным участникам. Таким образом, вы не внесли ничего, кроме помех разговору.

paha в сообщении #388512 писал(а):

Вы и правда не понимаете? Разговор идет не о пространствах, а о системах координат, только в них можно измерить векторную величину (в отличии от скалярной, для которой координаты никакие не нужны).

Если "измерить" = "записать компоненты", то да. Но вообще, вектор можно спроецировать на направление, сравнить с другим вектором, и т. п., и всё это в некоторых ситуациях логично назвать "измерением" (например, именно так работают физические измерительные приборы, например, прикладывание линейки и транспортира к вектору).

А с Vallav самый эффективный способ общаться - это его игнорировать. Он не только правда не понимает, но и не стремится понять, его цель - исключительно побутузить.