Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов

[Joker_vD]

ИСН
Я сомневаюсь, что даже после моего сообщения vanja возьмет в руки учебник и посмотрит, а как же это все-таки делается.

[ewert]

vanja в сообщении #385096 писал(а):

в общем все понятно, а вот если конкретно разбираться, не понимаю как отбирают, какие точки подходят

(Оффтоп)

Совсем забили человека

Очень просто разбираться. Идея в том, что ось заменяется на большой-большой отрезок $[-R;R]$, который замыкается в контур верхней полуокружностью, и ловятся полюса, попадающие в этот контур. А потом этот контур раздувается в бесконечность.

(Можно в данном случае, конечно, с тем же успехом замыкать и по нижней полуокружности, но тогда придётся учитывать изменение знака из-за неправильного направления обхода контура.)

[Joker_vD]

ewert в сообщении #385230 писал(а):

который замыкается в контур верхней полуокружностью,

Еще надо удостовериться, что при раздувании в бесконечность вклад от этой полуокружности будет стремиться к нулю.

[vanja]

Функция $I=f(z)=\frac{z^2-z+2}{z^4+10z^2+9}$ имеет в верхней полуплоскости 2 полюса $z_1=3i, z_2=i$
$z\cdot f(z)=\frac{z^3-z^2+2z}{z^4+10z^2+9}\to_{z\to\infty}0$
Тогда получим$ I= 2\pi i\cdot res\limits_{3i}+res\limits_i=$
Так?

[vanja]

[vanja]

правильно ли я все применил?

[vanja]

Функция $I=f(z)=\frac{z^2-z+2}{z^4+10z^2+9}$ имеет в верхней полуплоскости 2 полюса $z_1=3i, z_2=i$
$z\cdot f(z)=\frac{z^3-z^2+2z}{z^4+10z^2+9}\to_{z\to\infty}0$
Тогда получим$ I= 2\pi i\cdot res\limits_{3i}f(z)+res\limits_i f(z)=2\pi i (\frac{1-i}{16i}-\frac{7-3i}{16})=\frac{\pi(-2i+1)}{2}$
проверьте, пожалуйста, правильный ответ или нет

[ИСН]

Интеграл от действительнозначной функции по действительной оси равен комплексному числу?

[vanja]

вот меня это тоже напрягло, предоставлю тогда вычисление вычетов:
$Res\limits_i f(z)=\lim_i\frac{(z^2-z+2)(z-1)}{(z-1)(z+1)(z^2+9)}=\lim_i\frac{z^2-z+2}{(z+i)(z^2+9)}=\frac{i^2-i+2}{2i(i^2+9)}=\frac{1-i}{16i}\\ Res\limits_{3i} f(z)=\lim_{3i}\frac{(z^2-z+2)(z-3i)}{(z^2+1)(z-3i)(z+3i)}=\lim_{3i}\frac{z^2-z+2}{(z^2+1)(z=3i)}=\frac{(3i)^2-3i+2}{((3i)^2+1)(3i+3i)}=\frac{-7-3i}{16}$
может быть в вычислении ошибка

[ИСН]

может быть. проверять арифметику не буду, извините. это крайне скучно.