2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Сообщение09.12.2010, 01:17 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
ИСН
Я сомневаюсь, что даже после моего сообщения vanja возьмет в руки учебник и посмотрит, а как же это все-таки делается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Сообщение09.12.2010, 10:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
vanja в сообщении #385096 писал(а):
в общем все понятно, а вот если конкретно разбираться, не понимаю как отбирают, какие точки подходят

(Оффтоп)

Совсем забили человека

Очень просто разбираться. Идея в том, что ось заменяется на большой-большой отрезок $[-R;R]$, который замыкается в контур верхней полуокружностью, и ловятся полюса, попадающие в этот контур. А потом этот контур раздувается в бесконечность.

(Можно в данном случае, конечно, с тем же успехом замыкать и по нижней полуокружности, но тогда придётся учитывать изменение знака из-за неправильного направления обхода контура.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Сообщение09.12.2010, 15:39 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
ewert в сообщении #385230 писал(а):
который замыкается в контур верхней полуокружностью,

Еще надо удостовериться, что при раздувании в бесконечность вклад от этой полуокружности будет стремиться к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Сообщение09.12.2010, 20:54 


21/06/09
171
Функция $I=f(z)=\frac{z^2-z+2}{z^4+10z^2+9}$ имеет в верхней полуплоскости 2 полюса $z_1=3i, z_2=i$
$z\cdot f(z)=\frac{z^3-z^2+2z}{z^4+10z^2+9}\to_{z\to\infty}0$
Тогда получим$ I= 2\pi i\cdot res\limits_{3i}+res\limits_i=$
Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Сообщение09.12.2010, 22:41 


21/06/09
171
:roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Сообщение10.12.2010, 11:52 


21/06/09
171
правильно ли я все применил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Сообщение16.12.2010, 22:34 


21/06/09
171
Функция $I=f(z)=\frac{z^2-z+2}{z^4+10z^2+9}$ имеет в верхней полуплоскости 2 полюса $z_1=3i, z_2=i$
$z\cdot f(z)=\frac{z^3-z^2+2z}{z^4+10z^2+9}\to_{z\to\infty}0$
Тогда получим$ I= 2\pi i\cdot res\limits_{3i}f(z)+res\limits_i f(z)=2\pi i (\frac{1-i}{16i}-\frac{7-3i}{16})=\frac{\pi(-2i+1)}{2}$
проверьте, пожалуйста, правильный ответ или нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Сообщение16.12.2010, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Интеграл от действительнозначной функции по действительной оси равен комплексному числу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Сообщение16.12.2010, 22:51 


21/06/09
171
вот меня это тоже напрягло, предоставлю тогда вычисление вычетов:
$Res\limits_i f(z)=\lim_i\frac{(z^2-z+2)(z-1)}{(z-1)(z+1)(z^2+9)}=\lim_i\frac{z^2-z+2}{(z+i)(z^2+9)}=\frac{i^2-i+2}{2i(i^2+9)}=\frac{1-i}{16i}\\
Res\limits_{3i} f(z)=\lim_{3i}\frac{(z^2-z+2)(z-3i)}{(z^2+1)(z-3i)(z+3i)}=\lim_{3i}\frac{z^2-z+2}{(z^2+1)(z=3i)}=\frac{(3i)^2-3i+2}{((3i)^2+1)(3i+3i)}=\frac{-7-3i}{16}$
может быть в вычислении ошибка

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Сообщение16.12.2010, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
может быть. проверять арифметику не буду, извините. это крайне скучно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group