Какие три функции координат образуют векторное поле?

[Munin]

shwedka в сообщении #387897 писал(а):

К сожалению, такая подмена весьма распространена, но это не делает ее н капли обоснованной.

Разумеется, там, где она "распространена", там же для неё вводятся и основания, явно оговорённое расширение значений $\sigma$ ($\varsigma$ никто не использует) с кривой на всё пространство. Вот только их Александр Козачок никогда не присовокупляет. "Интегрировать" после этого можно в смысле нахождения интеграла дифференциального уравнения.

[shwedka]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #387922 писал(а):

($\varsigma$ никто не использует)

Ну уж очень буква необычная. Начитавшись Козачка, я уже ее употребила в статье. Особенно изящно выглядит, когда рядом с $\zeta$

Александр Козачок в сообщении #377805 писал(а):

Основная причина - публичный отказ единственного оппонента продолжать дискуссию.

Только сейчас заметила.
Ну, знаете, это

(Оффтоп)

....ство

гнусный подлог. Это Вы отказываетесь отвечать на многократно поставленный вопрос, лежащий в основе. А без этого ответа -- нечего обсуждать!

[paha]

мне кажется, под "функциями координат" Лойцянский понимает не отображения $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$, а именно функции координат, т.е. отображение $\{\mbox{множество координат}\}\to\mathbb{R}^3$

Разумеется, тогда не любая "функция координат" есть вектор. Например, градиент скалярной функции -- не вектор.

Мы-то тут по-простому функции координат понимаем.

-- Чт дек 16, 2010 02:23:15 --

ах... shwedka
меня опередила:^)
но ничего, другими словами о том же -- нелишне

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

shwedka в сообщении #387836 писал(а):

Итак, Вы убежали из математического форума в физический, не ответив на мои вопросы.

Не волнуйтесь, я вернусь. Это лишь передышка для осмысления Вашего ультиматума.

shwedka в сообщении #387836 писал(а):

…у Лойцянского, если прочитать не только эту строчку, но и текст вокруг, написано совершенно правильно и точно.

Это весьма важное признание профессионального математика!

Цитата:

Вы щедры на громогласные заявления, разрушающие основы наук, но четкого определения или формулировки от Вас НИКОГДА не добьешься. И я устала Вам объяснять, что все Ваши 'доказательства' ничего не доказывают, поскольку нет точных формулировок. Повторяю: Вы ничего не доказали.

Итак, давайте без лишних эмоций по небольшим частям разберемся по принципу «ДА» или «НЕТ», против чего Вы возражаете. Имеется в виду только прямоугольная система координат.
1.

Александр Козачок в сообщении #387371 писал(а):

Векторные уравнения, записанные в покомпонентной форме ничем (кроме символов) не отличаются от системы обычных уравнений с неизвестными, не являющимися компонентами вектора. Поэтому, чтобы иметь право оставить форму записи уравнений неизменной при изменении ориентации системы координат, мы должны наложить какие-то ограничения на содержащиеся в уравнениях величины.

Согласны?

2.
Прокомментируйте, пожалуйста, это утверждение

paha в сообщении #387959 писал(а):

Разумеется, тогда не любая "функция координат" есть вектор. Например, градиент скалярной функции -- не вектор.

А затем пойдем дальше.

С уважением, Александр Козачок

[shwedka]

Александр Козачок в сообщении #387970 писал(а):

shwedka в сообщении #387836 писал(а):
…у Лойцянского, если прочитать не только эту строчку, но и текст вокруг, написано совершенно правильно и точно.
Это весьма важное признание профессионального математика!

Ах, опять Вы смогли прочитать лишь одну строчку, не заметив или не поняв все остальное.

-- Чт дек 16, 2010 07:19:22 --

Александр Козачок в сообщении #387970 писал(а):

1.
Александр Козачок в сообщении #387371 писал(а):
Векторные уравнения, записанные в покомпонентной форме ничем (кроме символов) не отличаются от системы обычных уравнений с неизвестными, не являющимися компонентами вектора. Поэтому, чтобы иметь право оставить форму записи уравнений неизменной при изменении ориентации системы координат, мы должны наложить какие-то ограничения на содержащиеся в уравнениях величины.

Вы опять перепутали.
В фиксированной системе координат
никаких ограничений нет

Требование инвариантности или ковариантности уравнений при замене переменных накладывает ограничения на то, как функции, входящие в уравнение, меняются при замене переменных. А это зависит от конкретного вида уравнения.

Так что, опять,
Если мы рассматриваем уравнения в фиксированной системе координат, то никаких скрытых ограничений нет.

Александр Козачок в сообщении #387970 писал(а):

Прокомментируйте, пожалуйста, это утверждение
paha в сообщении #387959 писал(а):
Разумеется, тогда (то есть, в отношении этого определения) не любая "функция координат" есть вектор. Например, градиент скалярной функции -- не вектор.

Правильно, он преобразуется по другому закону.
Но если не интересоваться другими системами координат, а одну из них зафиксировать, то любая вектор-функция нужной размерности с нулевым ротором может служить представлением градиента в этой системе

Я ответила. Теперь Ваша очередь. Что такое векторное поле в Вашем понимании?

Тлько не надо Вашей обычной песни типа 'прежде, чем ответить, я бы хотел еще выяснить...' или 'на самом деле не этот вопрос важен, а...'-- и так без конца.
Наберитесь сил один раз в жизни ответьте прямо на поставленный вопрос. Вы же эту кашу заварили.

[paha]

shwedka в сообщении #387975 писал(а):

Но если не интересоваться другими системами координат, а одну из них зафиксировать, то любая вектор-функция нужной размерности с нулевым ротором может служить представлением градиента в этой системе

(Оффтоп)

в некоторой односвязной области

Вообще такое определение тензоров -- олдскульная привычка физиков. Мне помнится, и в Ландау-Лифшице примерно та же идеология. Это объясняется спецификой физических уравнений -- их ковариантностью.


Я, кстати, присоединяюсь к просьбе

shwedka в сообщении #387975 писал(а):

Что такое векторное поле в Вашем понимании?

[Munin]

paha в сообщении #387994 писал(а):

Вообще такое определение тензоров -- олдскульная привычка физиков. Мне помнится, и в Ландау-Лифшице примерно та же идеология. Это объясняется спецификой физических уравнений -- их ковариантностью.

Не понял. Нельзя ли поподробнее - о какой черте определения тензоров тут речь, в чём идеология?

[Vallav]

shwedka в сообщении #387975 писал(а):

Александр Козачок в сообщении #387970 писал(а):

Прокомментируйте, пожалуйста, это утверждение
paha в сообщении #387959 писал(а):
Разумеется, тогда (то есть, в отношении этого определения) не любая "функция координат" есть вектор. Например, градиент скалярной функции -- не вектор.

Правильно, он преобразуется по другому закону.

Странно. Впервые слышу, что любое потенциальное векторное поле -
не векторное поле.
Вроде при размерности меньше или равной 3 градиент скалярной функции -
вектор.

[Munin]

Нет, ковектор. Векторы совпадают с ковекторами только в пространствах со скалярным произведением. Например, в пространстве $(x,y,z,t)$ их можно не различать (можно свободно переходить от ковариантных к контравариантным компонентам и обратно), а вот в каком-нибудь пространстве $(P,V)$ - уже нельзя. От размерности это не зависит: всё то же самое имеет место и в размерности 1, и в сколь угодно большой размерности $n.$

[shwedka]

Munin в сообщении #388099 писал(а):

Векторы совпадают с ковекторами только в пространствах со скалярным произведением.

Ну, не совсем совпадают, а канонически отождествляются.

[Munin]

Вот в различиях между разными "совпадают" никогда не разбирался. Знаю наизусть только одно заклинание: "совпадают с точностью до изоморфизма", но тут оно, кажется, не подходит. Просветите?

[paha]

Munin в сообщении #388043 писал(а):

Не понял. Нельзя ли поподробнее - о какой черте определения тензоров тут речь, в чём идеология?

ну, для меня $(p,q)$-тензор на многообразии $M^n$ -- это сечение какого-то расслоения с базой $M$, например, $TM^{\otimes p}\otimes T^*M^{\otimes q}\to M$.

В рамках описанной идеологии тензор на многообразии -- это набор функций $\phantom{|}^{\varphi}T_{i_1\ldots i_p}^{j_1\ldots j_{q}}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ для каждой карты $(U,\varphi)$ многообразия $M$, который ведет себя соответствующим образом при переходе от одной карты к другой

Конечно, это один и тот же объект, но идеология разная

Munin в сообщении #388116 писал(а):

"совпадают с точностью до изоморфизма", но тут оно, кажется, не подходит. Просветите?

Ессть канонический изоморфизм $c:V\to V^{**}$ между (конечномерным) линейным пространством и его вторым сопряженным, действующий по формуле $c(v)[l]=l[v]$.
Пространства (конечномерные) $V$ и $V^*$ изоморфны, но определить изоморфизм канонически (т.е. инвариантно, независимо от базисов) -- нельзя без введения дополнительных структур.
Вот как это делается в случае наличия скалярного произведения.
Скалярное произведение -- это элемент $g\in V^*\otimes V^*\simeq Hom(V\otimes V,\mathbb{R})$. Определим $c_g:V\to V^*$ формулой $c_g(v)[u]=g(v,u)$. В силу невырожденности скалярного произведения это -- изоморфизм (поднятия-опускания индексов). Вместо скалярного произведения для построения изоморфизма можно взять любую невырожденную билинейную форму... например -- симплектическую (если она есть).

[Munin]

paha в сообщении #388141 писал(а):

Конечно, это один и тот же объект, но идеология разная

Я всё ещё не улавливаю, в чём же разница идеологии, если объект один и тот же. Предпочитают ли физики говорить о компонентах? Да, потому что для них важны численные значения. Знают ли они о бескомпонентном описании? Да, многие знают. А идеология тут в чём?

paha в сообщении #388141 писал(а):

Вот как это делается в случае наличия скалярного произведения.

То есть, как я понял, здесь можно сказать "(канонический) изоморфизм по заданному скалярному произведению", так?

[paha]

Munin в сообщении #388246 писал(а):

"(канонический) изоморфизм по заданному скалярному произведению", так?

все-таки не "по", а "с помощью", или "посредством" -

Munin в сообщении #388246 писал(а):

А идеология тут в чём?

в координатном и бескоординатном представлении... одному богу молимся, но по-разному

[Vallav]

Munin в сообщении #388099 писал(а):

Нет, ковектор. Векторы совпадают с ковекторами только в пространствах со скалярным произведением. Например, в пространстве $(x,y,z,t)$ их можно не различать (можно свободно переходить от ковариантных к контравариантным компонентам и обратно), а вот в каком-нибудь пространстве $(P,V)$ - уже нельзя. От размерности это не зависит: всё то же самое имеет место и в размерности 1, и в сколь угодно большой размерности $n.$

В случае трехмерного пространства ( я полагаю, исходный вопрос был именно
про него ) скалярное произведение наличиствует?
Градиент скалярной функции - векторное поле?