Случайная величина

[Gortaur]

Есть двумерная случайная величина $Y = (Y_1,Y_2)$. Ее распределение таково: пусть $Q = [-1,1]^2$ и $Q' = [\frac{1}{2},\frac{1}{2}]^2$, кроме того $x\in Q$. Тогда $Y = d$ если $d \in Q$ или $Y = u$ если $d\in \mathbb{R}^2\setminus Q$. Здесь $u$ равномерно распределено в квадрате $Q'$, $d$ стандартно нормально распределено.

Получаем, что $P\{Y\in Q\} = 1$. Требуется найти $\phi(y)$ - плотность распределения $Y$. Имеем

$$ P\{Y\in A\} = P\{Y\in A|d \in Q\}P\{d \in Q\} + P\{Y\in A|d \in \mathbb{R}^2\setminus Q\}(1-P\{d \in Q\}). $$

То есть

$$ P\{Y\in A\} = P\{d \in A\}P\{d \in Q\} + P\{u\in A\}(1-P\{d \in Q\}). $$

Пусть теперь $p = P\{d \in Q\}$, тогда

$$ P\{Y\in A\} = P\{d \in A\}p + P\{u\in A\}(1-p). $$

Если взять $A=Q$, то

$$ 1 = P\{Y\in Q\} = p^2 + 1-p. $$

что по сути не обязано выполнять - в чем ошибка, почему противоречие получилось?

-- Чт дек 16, 2010 18:49:51 --

Ошибку нашел: она в том, что $P\{Y\in A\} = P\{d\in A|d\in Q\}p + P\{u\in A\}(1-p)$ - и все отлично получается. Теперь другой вопрос, если $d$ - двумерная нормальная величина, какая у нее плотность при условии что $d\in Q$?

-- Чт дек 16, 2010 18:53:03 --

Ошибку нашел - запутался в условных вероятностях, вопрос снят.