Доказ. равномощн. беск. мн. и его объед. с кон. или счетным

[Alfucio]

Здравствуйте!

Читаю доказательство теоремы о равномощности бесконечного множества и его объединения с конечным или счетным множеством.

Формулировка:
«Если $M$ — бесконечное множество, а $A$ — конечно или счетно, то $M \cup A$ равномощно $M$».

Теорема доказывается следующим образом:

Выберем в $M$ счетное множество $A'$ и обозначим $B$ как $B = M\backslash A'$. Тогда $\[M = B \cup A',M \cup A = B \cup A \cup A'\]$. Множество $\[A \cup A'\]$ счетно, $A'$ и $\[A \cup A'\]$ равномощны, и существует биекция $\varphi :A' \to A'\; \cup A$. Рассмотрим отображение $f:M \to M \cup A$, определяемое по закону: $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x,}&{{\rm{if }}x \in B,}\\ {\varphi (x),}&{{\rm{if }}x \in A'.} \end{array}} \right.$

Утверждается, что $f$ — биекция. В процессе доказательства того, что это инъекция, утверждается: если ${x_1} \in B,{x_2} \in A' \Rightarrow f({x_1}) = {x_1} \in B,f({x_2}) = \varphi ({x_2}) \notin B \Rightarrow f({x_1}) \ne f({x_2})$. Однако, я не совсем согласен с тем, что $\varphi ({x_2}) \notin B$. Представим себе следующее построение множества $M$ и множества $A$: $M$ — множество точек $[a, + \infty )$ на плоскости, $A'$ — точки на этом отрезке, точки $A$ лежат на прямой, перпендикулярной лучу $M$.



Пусть $\varphi (x)$ строится следующим образом:
$\begin{array}{l} {a_1}' \leftrightarrow {a_1}'\\ {a_2}' \leftrightarrow {a_1}\\ {a_3}' \leftrightarrow {a_2}'\\ {a_4}' \leftrightarrow {a_2}\\ {a_5}' \leftrightarrow {a_3}'\\ {a_6}' \leftrightarrow {a_3}\\ ... \end{array}$


Пусть
$\begin{array}{l} {x_1} = {a_2},{x_2} = {a_4}'\\ {x_1} \ne {x_2}\\ f({x_1}) = {a_2}\\ f({x_2}) = \varphi ({a_4}') = {a_2}\\ \Rightarrow f({x_1}) = f({x_2}) \end{array}$

То есть условие не выполняется.

На мой взгляд, можно проделать следующее, чтобы было более корректно: так как $A$ конечно или счетно, то $A\backslash B$ также будет счетным или конечным. Пусть $\[\psi :A' \to (A'\; \cup \left( {A\backslash B} \right))\]$ — биекция. В таком случае $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x,}&{{\rm{if }}x \in B,}\\ {\psi (x),}&{{\rm{if }}x \in A';} \end{array}} \right.$ как раз и будет требуемой биекцией.

Подскажите, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю, что первоначальное доказательство не совсем корректно? Заранее спасибо :).

[AD]

Думаю, надо сразу было потребовать, что $M\cap A=\varnothing$.
А потом объяснить, что на самом деле это предположение не ограничивает общности.

[Alfucio]

Спасибо, с Вашей подсказки такой вариант тоже рассмотрел при написании работы (сдавал задания по данному учебному пособию) :).

[ewert]

На самом деле доказывать лучше в несколько приёмов.

1. Любое счётное множество представимо в виде объединения двух счётных или счётного и конечного любой мощности (практически очевидно).

2. Утверждение теоремы справедливо для случая, когда $M$ счётно (очевидно следует из п.1).

3. Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество (очевидно).

4. Откуда сразу следует теорема в полном объёме.

[Padawan]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #388006 писал(а):

3. Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество (очевидно).

Вот это не так очевидно, как кажется на первый взгляд. По крайней мере, без аксиомы выбора не обойтись. Но это, конечно, оффтопик.

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #388355 писал(а):

По крайней мере, без аксиомы выбора не обойтись.

Ну, когда она всего лишь счётная -- с этим можно примириться. Да и деваться всё равно некуда.