Задача о факторкольце и поле.

[Imperator]

Доказать, что $\mathbb{Z}[i]/(n)$ является полем тогда и только тогда, когда $n$ - простое нечетное, не представимое суммой двух квадратов.

Уточнение: $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi \in \mathbb{C}| a, b \in \mathbb{Z}\}$.

[Руст]

Любое квадратичное кольцевое расширение поля вычетов есть $\{a+b\theta \} ,a,b\in Z_p=Z/pZ$. При p>2 с помощью сдвига $\theta \to \theta +d, \ d\in Z_p$ можно добиться того, чтобы $\theta^2=c\in Z_p$. Соответственно получается, только три неизоморфных кольца, соответствующим случаям: 1) с=0, 2) с - квадратичный вычет, 3) с - не квадратичный вычет. В первых двух случаях получается кольцо с делителями нуля, в последнем поле. Гауссовы числа над полем вычетов соответствуют с=-1. Поэтому они дают поле при p=3(mod 4) и кольцо с делителями нуля при p=1(mod 4).

[tolstopuz]

Можно и без вычислений. Полями будут факторкольца по максимальному идеалу. Так как кольцо $\mathbb Z[i]$ - область главных идеалов, максимальные идеалы в нем - это ненулевые простые. А простое в $\mathbb Z$ является простым в $\mathbb Z[i]$ как раз тогда, когда оно не представимо суммой двух квадратов.