Любое квадратичное кольцевое расширение поля вычетов есть

. При p>2 с помощью сдвига

можно добиться того, чтобы

. Соответственно получается, только три неизоморфных кольца, соответствующим случаям: 1) с=0, 2) с - квадратичный вычет, 3) с - не квадратичный вычет. В первых двух случаях получается кольцо с делителями нуля, в последнем поле. Гауссовы числа над полем вычетов соответствуют с=-1. Поэтому они дают поле при p=3(mod 4) и кольцо с делителями нуля при p=1(mod 4).