элементарная комбинаторика

[Сергей 1987]

Помогите с решением задач:
1)Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых сумма цифр четна(первая цифра считается отличной от нуля)? Та же задача, если числа от 1 до 9999.
2)Сколькими способами можно представить натуральное число n в виде суммы трех слагаемых, каждое из которых также является натуральным числом?(представления, различающиеся порядком слагаемых считаются различными)

[Dan_Te]

Это стандартные задачи (задача номер два - вообще на применение одной формулы). Что у вас не получается, что вы делали?

[Сергей 1987]

На лекции нам дали 3 формулы: размещение, сочетание и перестановки с повторениями.
В задаче один, я думаю, сумма будет состоять из: 2 четных и 2 нечетных; 4 четных; 4 нечетных. Вот только не могу представить как это все свалить в одну кучу...
В задаче два, как "подсказал" преподаватель, нужно выявить закономерность по которой складываются 3 числа. Я взял конкретно число 20 и записал: 1+2+17; 2+2+16; 2+3+15 и так далее, вот только закономерности не вижу...

[Dan_Te]

По второй задаче: то, что вы написали, - никудышная "подсказка". Возможно, преподаватель говорил что-то еще? Внимательно прочитайте про сочетания с повторениями, посмотрите учебник/методичку, какого типа примеры там решаются с помощью сочетаний с повторениями.

По первой задаче: давайте начнем с малого. Какова вероятность, что первая и третья цифры в четырехзначном числе четные, а вторая и четвертая нечетные?

[Сергей 1987]

четных 2*C^1_4
нечетных 2*С^1_5

Добавлено спустя 1 час 4 минуты 48 секунд:

Извините, но вот какое определение сочетаний с повторениями: Сочетаниями из m элементов множества A по n элементов с повторениями называются соединения, содержащие n элементов, причем среди них могут быть одинаковые, а отличаются они хотя бы одним элементом, но не порядком.
А как дано в условии 2й задачи представления, различающиеся порядком слагаемых считаются различными

[C0rWin]

Ну так если Вы внимательнее вчитаетесь в условие задачи, то увидите, что оно подходит под определение сочетаний с повторениями ну хотя бы взять пример скажем: 2+2+2=6. Можно расмотреть данную задачу как следующую нужно найти кол-во решений для уравнения: x_1+x_2+x_3=$n$. Для человека который сталкивается с тако проблемой в первые трудно сразу увидеть нужное решение, но для этого можно расмотреть похожие задачи постепенно упрощая их. Ну скажем можно начать очень просто нужно поделить $n$ шариков на 3 ячейки тут просто представим, что x_i это просто кол-во шариков в ячейке $i$. А теперь представим, что шарики это нолики, а стенки ячеек это единицы, но заметим что две крайние стенки не играют никакой роли поэтому у нас есть $n$ ноликов и 2 единицы. И теперь решим задачу сколько бинарных слов можно построить из $n$ ноликов и 2 единиц. Ответом на что станет сочетание C(n+2,n).

[Dan_Te]

Че-то по первой задаче я не понял ваш ответ. Нужно найти, сколько существует четырехзначных чисел вида 2543, 6709, 4145, то есть первая и третья цифры в четырехзначном числе четные, а вторая и четвертая нечетные.

[C0rWin]

Если я правильно понял первую задачу, то нам не важно какие будут первые три числа, разумеется в начале не стоит ноль, а в конце будет либо четное либо нечетное в зависимости от первых трех, т.е. получим $9$*$10^2$*$2$. Или я не так понял задачу?

[Сергей 1987]

Я имел ввиду, что количеством выбора четной цифры(на каком бы месте она не стояла) будет сочетание одный цифры из 4 возможных(2,4,6,8), но так как цифры нужно две я и умножил их на два. Аналогично с нечетными, только нечетных пять... что бы найти количество чисел, содержащих эти цифры сочетания кажись нужно перемножить... вот только 0 там не учитывается...
Как вы считаете, первую задачу можно решить таким способом: разбить все четырехзначные числа на десятки от 1000 до 1009, от 1010 до 1019 и т. д.,—мы получим, что в каждом десятке будет равное количество чисел с четной и с нечетной суммой цифр. Так как всего четырехзначных чисел 9000, то чисел с четной суммой цифр будет 4500?

[PAV]

Сергей 1987 писал(а):

Как вы считаете, первую задачу можно решить таким способом: разбить все четырехзначные числа на десятки от 1000 до 1009, от 1010 до 1019 и т. д.,—мы получим, что в каждом десятке будет равное количество чисел с четной и с нечетной суммой цифр. Так как всего четырехзначных чисел 9000, то чисел с четной суммой цифр будет 4500?

Да, это верное рассуждение.

[ИСН]

Я бы мыслил так:
1000 и 9999
1001 и 9998
1002 и 9997
а также все остальные расставить в парочки. В каждой паре у одного чётная сумма цифр, у другого - нет. Finita.

[PAV]

Тогда уж проще числу XYZ0 поставить в соответствие XYZ1, XYZ2-XYZ3 и так далее. Или многими другими способами.

В общем, суть одна.

[Sasha2]

ИСН писал(а):

Я бы мыслил так:
1000 и 9999
1001 и 9998
1002 и 9997
а также все остальные расставить в парочки. В каждой паре у одного чётная сумма цифр, у другого - нет. Finita.

Я тоже поначалу мыслил также, так как считаю, что должен быть способ решить эту задачу и без ТВ и комбинаторики, однако, такой способ рассуждения наталкивается на некоторые ограничения:

Но уже 1010 сталкивается с определенными трудностями, хот, конечно, потом будет 1020, которые обратно все отыграют, но все же это повод задуматься (хотя бы пересчитать их число), далее такие же штуки с 1100 и так далее и с переменой тысяч. Вот, может быть для данного конкретного случая, тут и можно, что то измыслить, но, в целом, этот метод сомнителен.

[PAV]

Ничего сомнительного, метод железный. Только нужно аккуратно все разбить (убедиться, что охвачены все элементы и каждый учтен только один раз). В данном случае никаких трудностей и подводных камней нет. По способу ИСН числу $x\ge 1000$ ставится в соответствие число $y=10999 - x$. И все.

[Sasha2]

Уважаемый PAV, ну а если задача будет поставлена так: то же самое условие, но только, границы, например от 10 в 29 степени без 328 до 46 в 158 степени и еще 987?