Вложенные симплектические многообразия

[Bulinator]

Вопрос:
Пусть задано симплектическое многообразие $M$. Существует ли какое-нибудь выделенное симплектическое многообразие $M^\prime$, такое, что $M$ вкладывается в $M^\prime$ и чтобы индуцированное с помощью проекции $f:M^\prime\mapsto M$ симплектическая 2-форма совпадала с исходной:
$f_*\omega^{(2)}_{M^\prime}=\omega^{(2)}_M?$

[paha]

Существует... $M'=M$.

Или Вы хотите от $M'$ каких-то хороших свойств, которыми не обладает $M$?

Bulinator в сообщении #387039 писал(а):

и чтобы индуцированное с помощью проекции $f:M^\prime\mapsto M$ симплектическая 2-форма совпадала с исходной:
$f_*\omega^{(2)}_{M^\prime}=\omega^{(2)}_M?$

никаких "проекций" не бывает
формы ковариантны... они в обратную сторону: вложение $f:M\to M'$ индуцирует отображение $f^*:\Omega^2(M')\to\Omega^2(M)$.

[Bulinator]

paha в сообщении #387043 писал(а):

Или Вы хотите от $M'$ каких-то хороших свойств, которыми не обладает $M$?

Хочу, чтоб оно было размерности как минимум на 2 больше чем $M$

[paha]

прямое произведение рулит

[Bulinator]

paha в сообщении #387043 писал(а):

никаких "проекций" не бывает

Как не бывает? Сейчас книга не под рукой но почти дословно могу процитировать Арнольда из книги "Математические методы классической механики". В главе о кокасательных расслоениях $T*M $ есть фраза "...существует естесственная проекция $p:T*M\mapsto M$...".

[paha]

хотя, Громов доказал, кажется теорему о вложении $M\to\mathbb{R}^{2N}$, основываясь на своем h-принципе

-- Пн дек 13, 2010 21:55:53 --

Bulinator в сообщении #387052 писал(а):

В главе о кокасательных расслоениях $T*M $ есть фраза "...существует естесственная проекция $p:T*M\mapsto M$...".

так есть разница: подмногообразие и база расслоения! Тем более формы отображаются В ОБРАТНУЮ сторону

[Bulinator]

Ладно, тогда такой вопрос, можно ли любое симплектическое многообразие считать кокасательным расслоением некоторого многообразия?

[paha]

Bulinator в сообщении #387060 писал(а):

Ладно, тогда такой вопрос, можно ли любое симплектическое многообразие считать кокасательнвм расслоением некоторого многообразия?

нет... кокасательное расслоение некомпактно, к примеру

-- Пн дек 13, 2010 22:03:20 --

вот же и книги есть

Embedding problems in symplectic geometry,
Felix Schlenk

-- Пн дек 13, 2010 22:28:02 --

Bulinator в сообщении #387060 писал(а):

Ладно, тогда такой вопрос, можно ли любое симплектическое многообразие считать кокасательным расслоением некоторого многообразия?

тем более, что на таком "некотором" многообразии не будет симплектической структуры, вообще говоря

[Bulinator]

Тогда помогите, пожалуйста, ответить на такой вопрос. В топиках http://dxdy.ru/topic38550.html и http://dxdy.ru/topic38173.html я писал о восстановлении Гамильтониана по заданным траекториям.

Копирую рассуждения в эту тему несколько изменив в соответствии с вопросом

(Помещено в оффтоп)

На симплекическом многообразии $M$, параметризованном координатами $y$ задано семейство гладких кривых $y^i=y^i(t,C^1,\ldots,C^{2n})$.
1. Каким условиям должны удовлетворять кривые, чтобы существовал Гамильтониан $H$ траекториями которого они являлись?
2. Как восстановить Гамильтониан по этим траекториям?

Прежде чем перейти к решению, напомню несколько определений из книги Арнольда "Математические методы классической механики".
С помощью симплектической 2-формы, каждому векторному полю $\xi$ на $TM$ можно поставить в соответствие 1-форму $\omega^{(1)}_\xi(\eta)=\omega^{(2)}(\xi,\eta)$, для $\forall \eta\in TM$. Это соответствие является изоморфизмом векторов и 1-форм. Собственно обратное преобразование от 1-форм к векторам задается оператором $I$. С учетом обозначений имеем $I(\omega^{(1)}_\xi)=\xi$.

Решение:
С учетом обозначений можем записать уравнения Гамильтона для любой функции $f=f(y)$ в следующем виде:
$\dot{f}=I(dH)f\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$
В частности, если $f=y$ имеем
$\dot{y}=I(dH)y\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2)$

Таким образом, уравнения Гамильтона в любой точке определяют векторное поле $IdH$, касательное к траекториям частицы.
Сначала допусти, что система уравнений

$y^i_0=y^i(C^1,\ldots,C^{2n},0)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3)$

разрешима в момент времени $t=0$. Т.е. имеем единственную кривую $y(C(y_0),t)$ проходящую через точку $y_0$ с точностью до выбора начала отсчета времени.
Имея семейство кривых, можно построить векторное поле, ксательное к ней в любой точке. Т.е. для любой точки $y^0$ имеем:
$v(y_0)=\left.\frac{\partial y^i(C(y_0),t)}{\partial t}\right|_{t=0}\frac{\partial}{\partial y^i},$
где параметры $C$ выражены через $y$ в момент $t=0$.

Далее понятно, что это векторное поле должно совпадать с векторным полем порожденным Гамильтонианом $H$ по формуле (1)(ну или (2)).
Т.е. имеем $v(y)=I(dH)$, или, имея ввиду невырожденность симплектической 2-формы:
$\omega^{(2)}(v(y))=dH$.

Заметьте, что условие разрешимости системы уравнений (3) является принципиальным.
Вопрос: как его обойти?

Думаю, единственным способ- расширить пространство.
Эта система разрешима если матрица Якоби $(\hat{J})^{i}_j=\frac{\partial y^i}{\partial C^j}$ невырожденна. Пусть теперь ранг этой матрицы равен $n-k$.
Будем рассматривать параметры $C^1,\ldots,C^{2n}$ как функции от $2n+2m$ переменных $\tilde{C}^a$, $a=1,\ldots,2n+2m$.
Пусть $\tilde{y}^i=y^i, \quad i=1,\ldots,2n$ а остальные $\tilde{y}^{2n+1},\ldots\tilde{y}^{2n+2m}$- какие-то новые переменные.

Вопрос 1: что за пространство описывают эти переменные?
Вопрос 2: Правильно я понимаю, что для того, чтобы добиться невырожденности Якобиана $(\hat{J}^{2n+2m})^{a}_b=\frac{\partial \tilde{y}^a}{\partial \tilde{C}^b}$ $m$ должно быть равно как минимум $k/2$, если $k$ четно и $(k+1)/2$ если нет?

-- Вт дек 14, 2010 00:37:11 --

До симплектических форм еще доберемся.

[paha]

Bulinator в сообщении #387075 писал(а):

чтобы существовал Гамильтониан $H$ траекториями которого они являлись?

я механику забыл давно...

Где живут траектории, на $M$, или на $T^*M$?
Что является областью определения гамильтониана $H$?
Что значит "кривая является траекторией гамильтониана"?

[Bulinator]

paha в сообщении #387084 писал(а):

Где живут траектории, на $M$, или на $T^*M$?

На $M$.

paha в сообщении #387084 писал(а):

Что является областью определения гамильтониана $H$?

$H:M\mapsto \mathbb{R}$

paha в сообщении #387084 писал(а):

Что значит "кривая является траекторией гамильтониана"?

Кривая является одним из решений системы уравнений (2).

[Munin]

Bulinator
Где-то у Пенроуза в популярной книжке встретил объяснение, что риманова структура "жёсткая", и создаёт проблемы при вложениях, а многие другие структуры, в том числе симплектическая, "не жёсткие", так что вкладывать многообразия с такими структурами в другие многообразия намного проще.

[paha]

Как я понял, задача такая:
Дано симплектическое многообразие $(M,\omega)$ и векторное поле $Y:M\to TM$, причем 1-форма $\alpha_Y$, определенная как $\alpha_Y(X)=\omega(X,Y)$, не является точной (иначе система --гамильтонова).
Найти такое симплектическое $(M',\omega')$ и симплектическое вложение $f:M\to M'$ ($f^*\omega'=\omega$), что $\alpha_{f_*Y}$ -- точная форма.

Так?

-- Пн дек 13, 2010 23:01:22 --

Munin в сообщении #387096 писал(а):

Где-то у Пенроуза в популярной книжке встретил объяснение, что риманова структура "жёсткая", и создаёт проблемы при вложениях, а многие другие структуры, в том числе симплектическая, "не жёсткие"

Вы не перепутали?

[Bulinator]

Ага.

-- Вт дек 14, 2010 01:04:12 --

Хотя что такое симплектическое вложение, я не знаю.

[paha]

Bulinator в сообщении #387105 писал(а):

Хотя что такое симплектическое вложение, я не знаю.

там в скобочках написано: $\omega(X,Y)=\omega'(f_*X,f_*Y)$