Тогда помогите, пожалуйста, ответить на такой вопрос. В топиках
http://dxdy.ru/topic38550.html и
http://dxdy.ru/topic38173.html я писал о восстановлении Гамильтониана по заданным траекториям.
Копирую рассуждения в эту тему несколько изменив в соответствии с вопросом
(Помещено в оффтоп)
На симплекическом многообразии

, параметризованном координатами

задано семейство гладких кривых

.
1. Каким условиям должны удовлетворять кривые, чтобы существовал Гамильтониан

траекториями которого они являлись?
2. Как восстановить Гамильтониан по этим траекториям?
Прежде чем перейти к решению, напомню несколько определений из книги Арнольда "Математические методы классической механики".
С помощью симплектической 2-формы, каждому векторному полю

на

можно поставить в соответствие 1-форму

, для

. Это соответствие является изоморфизмом векторов и 1-форм. Собственно обратное преобразование от 1-форм к векторам задается оператором

. С учетом обозначений имеем

.
Решение:
С учетом обозначений можем записать уравнения Гамильтона для любой функции

в следующем виде:

В частности, если

имеем

Таким образом, уравнения Гамильтона в любой точке определяют векторное поле

, касательное к траекториям частицы.
Сначала допусти, что система уравнений

разрешима в момент времени

. Т.е. имеем единственную кривую

проходящую через точку

с точностью до выбора начала отсчета времени.
Имея семейство кривых, можно построить векторное поле, ксательное к ней в любой точке. Т.е. для любой точки

имеем:

где параметры

выражены через

в момент

.
Далее понятно, что это векторное поле должно совпадать с векторным полем порожденным Гамильтонианом

по формуле (1)(ну или (2)).
Т.е. имеем

, или, имея ввиду невырожденность симплектической 2-формы:

.
Заметьте, что условие разрешимости системы уравнений (3) является принципиальным.
Вопрос: как его обойти?
Думаю, единственным способ- расширить пространство.
Эта система разрешима если матрица Якоби

невырожденна. Пусть теперь ранг этой матрицы равен

.
Будем рассматривать параметры

как функции от

переменных

,

.
Пусть

а остальные

- какие-то новые переменные.
Вопрос 1: что за пространство описывают эти переменные?
Вопрос 2: Правильно я понимаю, что для того, чтобы добиться невырожденности Якобиана

должно быть равно как минимум

, если

четно и

если нет?
-- Вт дек 14, 2010 00:37:11 --До симплектических форм еще доберемся.