2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 На сколько нулей кончается выражение?
Сообщение09.12.2010, 19:10 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Для каждого натурального $m$ найти, на сколько нулей может оканчиваться десятичная запись выражения $1^n+2^n+...+m^n$, где $n$ - натуральное число.

Я смогла решить только для $m$, дающих остатки 1 и 2 при делении на 4, а также для $m=4$.

При $m$, дающих остатки 1 и 2 при делении на 4, сумма содержит нечётное число нечётных чисел, стало быть, ответ будет "только на 0 нулей".

При $m=4$ у меня вышло "только на 0, 1 или 2 нуля". Действительно, при $n=1$ имеем ровно 1 нуль на конце. При $n=3$ имеем ровно 2 нуля на конце. При $n=4$ имеем ровно 0 нулей на конце.
Чтобы получить более двух нулей, сумма должна делиться на 8, но этого не происходит. При $n$ равном 1 и 2 нуль будет ровно один. При $n>2$ замечаем, что $2^n$ и $4^n$ делятся на 8, а $1^n$ всегда единичка, значит $3^n$ должна давать остаток 7 при делении на 8, но, согласно арифметике остатков, $3^n$ может давать лишь остатки 3 и 1 при делении на8.

При остальных $m$ у меня не получается :oops: :oops: :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей кончается выражение?
Сообщение10.12.2010, 06:54 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Мдя...
Так, ну найти сумму через числа Бернулли тут видимо не поможет... :roll:
Можно через сравнения определять для каждой тройки $m,n,k$ верно ли $10^k|S(m,n)=\sum\limits_{j=1}^{m}j^n$...
Функция $\text{ord}_{10}(S(m,n))$ должна быть, наверное, похожа на $\text{ord}_{10}(x!)$ для зафиксированного $n$.
Это такая формулировка у задачи, или еще какие-то условия есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей кончается выражение?
Сообщение10.12.2010, 12:55 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Xenia1996
При $n=1$ имеем $\sum\limits_{j=1}^m{j}=\dfrac{m(m+1)}{2}$.
Несложно видеть, что возможно любое число нулей (подставьте m = 2000000). То же самое для тройки и выше. Только там будут свои суммы рядов. Формулы сумм здесь:
http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей кончается выражение?
Сообщение10.12.2010, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
age в сообщении #385681 писал(а):
Несложно видеть, что возможно любое число нулей (подставьте m = 2000000). То же самое для тройки и выше. Только там будут свои суммы рядов.

задача не про $n$, а про $m$
:^)))

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей кончается выражение?
Сообщение10.12.2010, 13:13 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Ааааа.. что-то совсем не догнал. Извинтиляюсь. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей кончается выражение?
Сообщение10.12.2010, 13:19 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Sonic86 в сообщении #385619 писал(а):
Мдя...

Это такая формулировка у задачи, или еще какие-то условия есть?

Задачу сама придумала, так что, возможно, переборщила с формулировкой. А натолкнула меня вот эта лёгкая задачка (первая из тех, что там есть): http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?to ... bor.9klass

Просто, если решение задачи мне даётся легко, у меня тут же руки чешутся её обобщить (или, как говоривал многоуважаемый Михаил Сергеевич, обобщить)...

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей кончается выражение?
Сообщение11.12.2010, 08:51 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Эта задача вполне решаемая, но решение громоздкое.
Сначала $\text{ord}_{10}(S(m,n)) = min\{ \text{ord}_2(S(m,n));\text{ord}_5(S(m,n))\}$. Далее считаем каждый показатель отдельно.
Эмпирически я нашел и почти вывел формулу для $\text{ord}_2$:
$$
\left\{ \begin{array}{l}
n=1 \Rightarrow \text{ord}_2(S(m,n))=\text{ord}_2(m)+\text{ord}_2(m+1)-1 \\
n>1 \Rightarrow \text{ord}_2(S(m,n))=2^{n \text{mod} 2} \cdot (\text{ord}_2(m)+\text{ord}_2(m+1)-1)
\end{array}
$$
В общем случае, видимо, для $\text{ord}_p$ следует рассматривать случаи $n \equiv r \pmod{p-1}$ при $0 \leq r < p-1$ с $n>1$ и почему-то отдельно $n=1$ (пока не понял, почему)(в предыдущей формуле я загнал случаи разных вычетов $n$ в одну формулу).

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей кончается выражение?
Сообщение13.12.2010, 06:36 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Для решения для произвольного простого $p>2$ надо доказать (или опровергнуть!?) следующие соотношения (подобраны эмпирически):
$$(A) \ \text{ord}_p(S(m+p^2,n))=\text{ord}_p(S(m,n))$$
$$(B) \ \text{ord}_p(S(m,n))=\text{ord}_p(S((p^2-1)-(m \text{mod} p^2),n))$$
$$(C) \ \text{ord}_p(S(pm,n))=\text{ord}_p(S(pm-1,n))$$
тут основное соотношение - это (A), остальное чуть облегчает работу. Если (А) верно, то нахождение $\text{ord}_p(S(m,n))$ сводится к нахождению $\text{ord}_p(S(m,n))$ для $1 \leq m \leq \frac{p^2-1}{2}$, взаимно простых с $p$
Помогите доказать! Я не знаю, как ее доказывать!

(длинная и нудная почти вся формула для показателя 5 суммы S(m,n), почти не доказано)

$$\begin{array}{l}
1. \ m \equiv 1;3;8;11;13;16;21;23 \pmod 5^2 \Rightarrow \text{ord}_5(S(m,n))=0 \\
2. \ m \equiv 2;7;17;22 \pmod 5^2 \Rightarrow \text{ord}_5(S(m,n))=[n \equiv 2 \pmod 4](1+ \text{ord}_5(n)) \\
3. \ m \equiv 12 \pmod 5^2 \Rightarrow \text{ord}_5(S(m,n))=[n \equiv 0 \pmod 2]+[n \equiv 2 \pmod 4](1+ \text{ord}_5(n)) \\
4. \ m \equiv 6;18 \pmod 5^2 \Rightarrow \text{ord}_5(S(m,n))=[n \equiv 3 \pmod 4](1+ \text{ord}_5(\text{don't \ know})) \\
5. \ m \equiv 4;5;9;10;14;15;19;20 \pmod 5^2 \Rightarrow \text{ord}_5(S(m,n))=
[n \equiv 1;2 \pmod 4](1+ \text{ord}_5(n))
[n \equiv 3 \pmod 4](2+ \text{ord}_5(n)+\text{ord}_5(n-1))
\end{array}$$

(использована нотация Айверсона из книжки Кнута $P$ истинно $\Rightarrow [P]=1$, $P$ ложно $\Rightarrow [P]=0$)

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей кончается выражение?
Сообщение13.12.2010, 09:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5495
Нов-ск
Sonic86 в сообщении #386742 писал(а):
$$(A) \ \text{ord}_p(S(m+p^2,n))=\text{ord}_p(S(m,n))$$
Это означало бы, что $\text{ord}_p(S(m,n))$ ограничено (при фиксированном $n$).
Оцените снизу $\text{ord}_p(S(p^{2k},n))$

 Профиль  
                  
 
 Re: На сколько нулей кончается выражение?
Сообщение15.12.2010, 14:07 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
TOTAL, я затупил :-(, каюсь... (зря эмпирика включил)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group