Эффект Доплера для волновой функции.

[AlexNew]

Munin писал(а):

Браво. Первой же строчкой носом в лужу.... а то, что вы написали - бессмыслица. После этого ваш гонор ещё смешнее.

Надо же! Мунин заметил исправленую ошибку!!! (post386023.html#p386023),
+1 еще раз :))

Munin писал(а):

Дело в том, что механика инвариантна относительно преобразований Галилея. Поэтому корректно назвать преобразованиями Галилея не только поточечные преобразования координат, но и преобразования величин в точках, аналогично преобразованиям Лоренца, которые действуют на поля согласно представлениям. В этом случае можно и УШ понимать как инвариантное относительно преобразований Галилея, если задать довольно простой закон преобразования волновой функции.

вы НЕ понимаете очевидную вещь, любое уравнение (хоть Дирака, хоте Шреденгера) инвариантно относительно почти любых преобразований если решения уравнения подвергнуть обратному преобразованию:

Вот что вы тут предлагаете:
$H\vec{\psi} = \vec{\psi}$
$H\vec{\psi} = H I \vec{\psi} = H G^{-1} G \vec{\psi} = \vec{\psi}$
Где $G$ - это ваши преоброзавания относит кот. диф уравненеие (записаное в матричной форме здесь) является инвариантным.

После этих нехитрых преобразований вы заявляете что УШ инвариантно относит ПГ, хорошо хоть волновую функцию на ноль делить не пришлось:))

[Munin]

AlexNew в сообщении #386691 писал(а):

вы НЕ понимаете очевидную вещь, любое уравнение (хоть Дирака, хоте Шреденгера) инвариантно относительно почти любых преобразований если решения уравнения подвергнуть обратному преобразованию

Не понимаю. Она не очевидна, очевидно как раз обратное. Есть очень широкий класс преобразований уравнений, которые не "исправить" преобразованиями решений, попросту потому, что решения - это вектор, а уравнения - оператор, у них "степеней свободы" больше.

AlexNew в сообщении #386691 писал(а):

Вот что вы тут предлагаете:
$H\vec{\psi} = \vec{\psi}$
$H\vec{\psi} = H I \vec{\psi} = H G^{-1} G \vec{\psi} = \vec{\psi}$
Где $G$ - это ваши преоброзавания относит кот. диф уравненеие (записаное в матричной форме здесь) является инвариантным.

"Опять двойка".
Нет, конечно, я предлагаю не это, а
$(H+i\partial/\partial t)\Psi=0$
$G[(H+i\partial/\partial t)\Psi]=[G(H+i\partial/\partial t)G^{-1}][G\Psi]=(H+i\partial/\partial t)'\,\Psi'=0$
что, очевидно, выполняется только в том случае, когда преобразование уравнения происходит по инвариантному закону $Op\to GOpG^{-1},$ а не когда угодно.

AlexNew в сообщении #386691 писал(а):

После этих нехитрых преобразований вы заявляете что УШ инвариантно относит ПГ, хорошо хоть волновую функцию на ноль делить не пришлось:))

Я рад, что вы умудрились обойтись без этого бессмысленного действия. Жаль, но это ещё не означает, что вы разобрались в материале и усвоили его.

[Инт]

Munin в сообщении #385776 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #385755 писал(а):

1. Коэф. отражения, как и потоки, не есть инварианты галилеевых бустов, потому никаких противоречий нет.

Ещё раз: в зависимости от того, как дефинировать коэффициент отражения. Его можно дефинировать инвариантно.

На русском языке означает "определить". В одной системе отсчёта будут как падающие, так и отражённые частицы, а в другой - только падающие. Тогда придётся определять "отстающие от границы отражения".

[Munin]

Инт в сообщении #386748 писал(а):

На русском языке означает "определить".

Я использовал другое слово из-за неоднозначности русского определить: "дать определение" или "вычислить".

Инт в сообщении #386748 писал(а):

В одной системе отсчёта будут как падающие, так и отражённые частицы, а в другой - только падающие.

Не во всякой другой. Оговаривайте в какой.

[ИгорЪ]

Munin
Я ошибся, там нет минуса, частотности одинаковые
$\int (b(k)e^{i(kx-wt)}+b^{*}(k)e^{-i(kx+wt)})dk$
А это же просто фурье преобразование,
$\int_{-\infty}^{+\infty} b(k)e^{i(kx-\omega t)}dk$ пока нет закона дисперсии.
Вобщем как решить задачу с движущимся барьером с волнами разной энергией падающей и отраженной волн мне непонятно. Не хватает данных. ?
Инт
я не могу сообразить инвариантное определение
AlexNew
А что вам не нравится в двух приведенных ссылках по Галилеевой симметрии УШ?
Ещё вопрос физикам. Нерелятивистский доплер эффект. Там меняется частота, но длина волны не меняется? Я правильно понимаю?

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #387142 писал(а):

пока нет закона дисперсии.

Закон дисперсии есть, он же в уравнение заложен. По крайней мере, можно фурье-разложить решение на бесконечности (на конкретной, плюс или минус), и в ней же взять уравнение. Получится, что по одну сторону ступеньки выполняется $\omega=k^2/2m+U_1,$ а по другую $\omega=k^2/2m+U_2,$ вот и всё.

ИгорЪ в сообщении #387142 писал(а):

Вобщем как решить задачу с движущимся барьером с волнами разной энергией падающей и отраженной волн мне непонятно. Не хватает данных. ?

А в чём на данный момент осталась проблема?

ИгорЪ в сообщении #387142 писал(а):

я не могу сообразить инвариантное определение

Вы как раз инвариантное, кажется, и приводили, если я правильно проверил.

ИгорЪ в сообщении #387142 писал(а):

Ещё вопрос физикам. Нерелятивистский доплер эффект. Там меняется частота, но длина волны не меняется? Я правильно понимаю?

Да, но к уравнению Шрёдингера это не относится, в эффекте Доплера обычно рассматривают физически измеримые волны, например, звуковые, волны на воде, и т. п. Для них, в отличие от волновой функции, при преобразовании Галилея всё просто поточечно.

[AlexNew]

Munin писал(а):

Не понимаю. Она не очевидна, очевидно как раз обратное. Есть очень широкий класс преобразований уравнений, которые не "исправить" преобразованиями решений, попросту потому, что решения - это вектор, а уравнения - оператор, у них "степеней свободы" больше.

это ведь не философский кружок, что вы себе позволяете!!! пишите конкретно.
Вам известно сколько степенией свободы у оператора если размерность вектора $N$
( невежество от меня не спрятать туманными фразами )

Munin писал(а):

"Опять двойка".
Нет, конечно, я предлагаю не это, а
$(H+i\partial/\partial t)\Psi=0$
$G[(H+i\partial/\partial t)\Psi]=[G(H+i\partial/\partial t)G^{-1}][G\Psi]=(H+i\partial/\partial t)'\,\Psi'=0$
что, очевидно, выполняется только в том случае, когда преобразование уравнения происходит по инвариантному закону $Op\to GOpG^{-1},$ а не когда угодно.

у меня там описка была конечно, я имел в виду $H\vec{\psi}=0$ но смысл вы уловили +1, и в тоже время показали что не понимаете основ...

Вы сами показали что
$G[(H+i\partial/\partial t)\Psi]=[G(H+i\partial/\partial t)G^{-1}][G\Psi]=(H+i\partial/\partial t)'\,\Psi'=0$
что только подтверждает мою точку зрения, которую я пытался донести.

Повторю еще раз.
Преонбразавание $G$ может быть любым невырожденым преобразованием , хоть галилия, хоть лоренца, хоть каким другим, и оператор $Op$ тоже может быть любым, хоть $H$, хоть $(H+i\partial/\partial t)$, хоть черт занет каким!

Суть в том что коль скоро вы меняется оператор и волновую функцию вместе, уравнение не изменяются, это просто запись в другой системе координат, и эта процедура не имеет ничего общего с инвариантностью ДУ.

не знаю как еще проще можно это показать...
как только вы используете преобразование $G$ такое что $I = G*G^{-1}$ уравнение можно преобразавать к другой системе координат, однако это не означает что $G$ является спецефическим для данного уравнения, оно $G$ вообще к нашему ДУ не имеет никакого отношения!

Munin писал(а):

что, очевидно, выполняется только в том случае, когда преобразование уравнения происходит по инвариантному закону $Op\to GOpG^{-1},$ а не когда угодно.

это не инвариантный закон изменения оператора, а запись оператора в другой (сколь угодно произвольной) системе координат. У вас Все смешалось в кучу, кони-люди.

-- Вт дек 14, 2010 04:22:22 --

ИгорЪ писал(а):

что вам не нравится в двух приведенных ссылках по Галилеевой симметрии УШ?

в учебнике показано что УШ не является инвариантным относительно преобраз Галилия, все верно, и учебник очень толковый краткий и по существу.
А асаймент, он без решения, чего там хотят от судентов я не стал вникать...

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #387188 писал(а):

А в чём на данный момент осталась проблема?

$k_2,k_3$ откуда брать?

-- Вт дек 14, 2010 10:09:37 --

ИгорЪ в сообщении #387270 писал(а):

Вы как раз инвариантное, кажется, и приводили, если я правильно проверил.

я обычное приводил, оно неинвариантно

-- Вт дек 14, 2010 10:12:57 --

AlexNew в сообщении #387243 писал(а):

в учебнике показано что УШ не является инвариантным относительно преобраз Галилия,

и тут же сказано, что если домножить в.ф. на фазу, а это допустимо в кван. механике, то инвариантность восстановится! Т.е. в категории проективных представлений инваринтность налицо.

[Инт]

ИгорЪ в сообщении #387142 писал(а):

Вобщем как решить задачу с движущимся барьером с волнами разной энергией падающей и отраженной волн мне непонятно. Не хватает данных? ...Инт я не могу сообразить инвариантное определение

Непонятно, Вы же вроде бы всё решили: Алгоритм решения: Решаете задачу в системе отсчёта, где ступенька покоится. Переходите в другую систему отсчёта, домножая полученное решение на фазовый множитель. Алгоритм решения в систем. отсч., где ступенька покоится: на левом участке падающая волна, на правом прошедшая с другой амплитудой, на участке где ступенька - то же плоская волна с какими-то неизвестными значениями волнового вектора и амплитуды. Склеиваем все три решения на границе так, чтобы полное решение было гладким. "Отстающие волны" - это волны, имеющие скорость меньше скорости ступеньки, их и следует считать отражёнными для инвариантного определения.

[ИгорЪ]

Munin считает, что задача с движ. ступенькой настолько нестационарна, что падающая и отраженная в покоящ. СО таковы $e^{ik_1x-i\omega_1 t} +Be^{-ik_2x-i\omega_2 t},$ , а прошедшая $e^{ik_3x-i\omega_3 t}$ Вот в таком виде я не знаю как решать и где брать $k_2$

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #387270 писал(а):

Munin в сообщении #387188 писал(а):

А в чём на данный момент осталась проблема?

$k_2,k_3$ откуда брать?

Из условия сшивки, конечно же.

Тут тонкость. Поскольку уравнение Шрёдингера не гиперболическое, то у нас проблемы с причинностью при постановке условий задачи. В случае неподвижного рассеивающего потенциала всё просто: есть падающие волны, идущие внутрь, есть отражённые наружу. Если бы у нас была электродинамика или любой Д'Аламбер, движущийся потенциал тоже не составлял бы проблемы, падающие и отражённые однозначно отличались бы по направлению внутрь-наружу. А здесь, как заметил выше Инт, при некоторой скорости движения потенциала падающая и отражённая волна движутся вообще в одну сторону. В этой ситуации вы получите множество допустимых значений скоростей $v_2=d\omega_2/dk_2$ (Update: было неверно $v_2=\omega_2/k_2$, сообразил, что здесь физически корректно говорить о групповой скорости, а не фазовой, а они для УШ отличаются в два раза.) в виде спектра такого вида: сначала континуум от $-\infty$ до $v,$ то есть разрешены любые волны, догоняющие потенциал, а потом нет решений, кроме одного, которое соответствует отражению заданной волны $v_2=2v-v_1.$ (Поскольку множество $k$ "вывернуто наизнанку" по отношению к множеству $v,$ множество решений для $k$ выглядит запутанно и некрасиво, но это техническая возня, а не принципиальная сложность.)

Так вот. После того, как вы получили такое множество допустимых значений $k,$ вы должны отбросить все волны, догоняющие потенциал. Именно здесь вы, наконец, достигаете полной и корректной постановки задачи рассеяния. Вам нужно только одно значение $k_2,$ $k_3,$ соответствующее отражению и прохождению той падающей волны, которую вы сами указали. И после этого всё получается однозначно: $k_2$ и $k_3$ соответствуют закону сохранения энергии, амплитуды тоже находятся из условий сшивки.

После того как я всё это написал, вообще-то там ещё сложнее картина, поскольку она должна формулироваться в терминах пар значений $(k_2,k_3),$ но это я уже быстро не изложу.

[Инт]

ИгорЪ в сообщении #387368 писал(а):

Munin считает, что задача с движ. ступенькой настолько нестационарна, что падающая и отраженная в покоящ. СО таковы $e^{ik_1x-i\omega_1 t} +Be^{-ik_2x-i\omega_2 t},$ , а прошедшая $e^{ik_3x-i\omega_3 t}$ Вот в таком виде я не знаю как решать и где брать $k_2$

Пробуем разобраться. Я бы так написал: Падающая волна: $Ae^{ik_1x-i\omega t}$. Отражённая: $Be^{-ik_2x-i\omega t}$. Прошедшая: $Ce^{ik_3x-i\omega t}$. Волна в области ступеньки: $De^{ipx-i\omega t} + Fe^{-ipx-i\omega t}$ (два волновых числа в области ступеньки должны совпадать - следует из уравнения Шредингера). Потенциал в левой и правой части $U = 0$, в области ступеньки $U = V = const$. Всё - в системе отсчёта, где ступенька покоится. УШ в области ступеньки даёт: $p^2/2M + V = \omega$ (постоянную Планка делаем = 1).

Условия сшивки на левой границе ($x = - L$):

$De^{-ipL} + Fe^{ipL} = Ae^{-ik_1L} + Be^{ik_2L}$
и ещё
$ipDe^{-ipL} -ipFe^{ipL} = ik_1Ae^{-ik_1L} - ik_2Be^{ik_2L}$.

Условия сшивки на правой границе ($x = L$):

$De^{ipL} + Fe^{-ipL} = Ce^{ik_3L}$
и
$ipDe^{ipL} -ipFe^{-ipL} = ik_3Ce^{ik_3L}$.

Неизвестные: $B, C, D, F, k_2, k_3$ - всего шесть штук. Исходим из того, что четыре неизвестные $B, C, D, F$ должны удовлетворять неоднородной системе из четырёх уравнений, так как $A$ задана... Ну да, получаем формальный произвол в значениях неизвестных. Всё же считаем, что $k_1 = k_2 = k_3$ по таким соображениям: так как $\omega$ всюду одна и та же, а импульс частицы однозначно связан с энергией, то если бы волновое число отражённной или прошедшей волны отличалось от волнового числа падающей, это означало бы, что масса частицы изменилась бы (и видимо это возможно для какой-то специальной модели происходящего).

[Munin]

Инт
Вы ошиблись в понимании условий задачи. Вы считаете, что потенциал

$$U(x)=\left\{\begin{array}{lll} 0,&\quad&x<-L\\ V,&&-L<x<L\\ 0,&&x>L \end{array}\right. .$$

Так вот, это называется не "ступенька", а "барьер", на нём изучают туннельный переход. А "ступенька" - это более простой потенциал,

$$U(x)=\left\{\begin{array}{lll} 0,&\quad&x<0\\ V,&&x>0 \end{array}\right. .$$

Коэффициенты прохождения и отражения, разумеется, есть и там, и там.

[Инт]

Вот оно как понималось оказывается. Надеюсь, что ИгорЪ сумеет востановить всё правильно для этой другой ситуации. Все равно, аргументация относительно волнового вектора отражённой волны остаётся той же.

[Munin]

Инт
Да ИгорЪ изначально понимал под ступенькой именно ступеньку, это видно по значению коэффициента отражения, который он приводил. У барьера он сложнее.