Вот я думаю, что индукция - лучше, а Вы как думаете?

[Sandor]

Shwedka писала:

- "Ответа не увидела. А жду",
- "Докажите",
- "Оппонирующим достаточно....".

Руст писал(а):

- "При каких ...."

Приношу извинения, Вы оба правы! Я от Вас обоих получил контрпример. Спасибо! Однако я не случайно просил его. Приведенное докахательство является общим только при нечётных y, ибо

$${\text{y}} = {{\text{U}}_1}{{\text{U}}_2}$$

где

$${{\text{U}}_1}{\text{,}}{{\text{U}}_2} - $$

нечётные числа. Явно, контрпримером может служить исключительно субуравнение с чётным y, где

$${\text{y}} = 2{{\text{V}}_{\text{1}}}{{\text{V}}_{\text{2}}}.$$

Привожу вторую половину общего решения, принцип которого отличается от предыдущего.
С вводом явной чётности переменных имеем (более сложные уравнения при скрытой чётности переменных интегрируют проблемы теории чисел, их решение усложняется):

$${\left( {2{{\text{y}}_1}} \right)^3} = {\left( {2{{\text{z}}_1} + 1} \right)^2} - {\left( {2{{\text{x}}_1} + 1} \right)^2}$$

Приведением субуравнения к неоднородному виду, получаем:

$${\text{y}}_1^3 = \frac{{\left( {{{\text{z}}_1} - {{\text{x}}_1}} \right)\left( {{{\text{z}}_1} + {{\text{x}}_1} + 1} \right)}}{2} = {\text{V}}_1^{\text{3}}\text{V}}_2^{\text{3}}.$$

Запишем варианты и формулы решения.
Первый вариант:

$$ \pm \left\{ \begin{gathered} {{\text{z}}_1} - {{\text{x}}_1} = 2{\text{V}}_1^3 \hfill \\ {{\text{z}}_1} + {{\text{x}}_1} = {\text{V}}_2^3 - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right\},{{\text{y}}_1} = {{\text{V}}_{\text{1}}}{{\text{V}}_{\text{2}}},{{\text{x}}_1} = \frac{{{\text{V}}_2^3 - 2{\text{V}}_1^3 - 1}} {2}{\text{, }}{{\text{z}}_1} = \frac{{{\text{V}}_2^3 + 2{\text{V}}_1^3 - 1}}{2},$$

$${\text{y}} = 2{{\text{V}}_{\text{1}}}{\text{V}}_{\text{2}}},{\text{x}} = {\text{V}}_2^3 - 2{\text{V}}_1^3{\text{, z}} = {\text{V}}_2^3 + 2{\text{V}}_1^3,$$

где

$${\text{V}}_2^3 > 2{\text{V}}_1^3 + 1,\left( {{{\text{V}}_{\text{1}}}{\text{,}}{{\text{V}}_{\text{2}}}} \right) = {\text{d}} = 1,{{\text{V}}_{\text{2}}} - $$

нечётное.

Второй вариант:

$$2. \pm \left\{ \begin{gathered} {{\text{z}}_1} - {{\text{x}}_1} = {\text{V}}_1^3 \hfill \\ {{\text{z}}_1} + {{\text{x}}_1} = 2{\text{V}}_2^3 - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right\},{{\text{y}}_1} = {{\text{V}}_{\text{1}}}{{\text{V}}_{\text{2}}},{{\text{x}}_1} = \frac{{{\text{2V}}_2^3 - {\text{V}}_1^3 - 1}}{2}{\text{, }}{{\text{z}}_1} = \frac{{{\text{2V}}_2^3 + {\text{V}}_1^3 - 1}} {2},$$

где

$${\text{y}} = 2{{\text{V}}_{\text{1}}}{{\text{V}}_{\text{2}}},{\text{x}} = 2{\text{V}}_2^3 - {\text{V}}_1^3{\text{, z}} = 2{\text{V}}_2^3 + {\text{V}}_1^3,2{\text{V}}_2^3 > {\text{V}}_1^3 + 1,\left( {{{\text{V}}_{\text{1}}}{\text{,}}{{\text{V}}_{\text{2}}}} \right) = {\text{d}} = 1,{{\text{V}}_1} - $$

нечётное.
Два решения вместе дают общее решение уравнения

$${{\text{y}}^3} = {{\text{z}}^2} - {{\text{x}}^2}$$

Исхожу из предположения, что на Ваши вопросы я дал корректный ответ!

Ещё раз приношу извинения за обходный манёвр!

С большим уважением: Sándor

[Руст]

Sandor в сообщении #386485 писал(а):

Shwedka писала:

Два решения вместе дают общее решение уравнения

$${{\text{y}}^3} = {{\text{z}}^2} - {{\text{x}}^2}$$

Исхожу из предположения, что на Ваши вопросы я дал корректный ответ!

Ещё раз приношу извинения за обходный манёвр!

С большим уважением: Sándor

Каким образом из ваших формул выражается решение:
$x=3,y=3,z=6?$. Приведите явные значения ваших переменных.

[Sandor]

Руст писал(а):

- "Каким образом из ваших формул выражается решение ...... . Приведите явные значения ваших переменных".

Вы привели партикулярно-однородные решения уравнения! Их получить из приведенных формул нет возможности, почему они и партикулярные. Партикулярно-однородные уравнения - при фиксированных степенях - не имеют неоднородных решений. Поэтому их можно зачислить в отдельный класс уравнений. При равных степенях переменных партикулярных решений нет, в противном случае уравнение Ферма имело бы решения и при степенях больших 2. Приведение решений партикулярно-однородных уравнений к неоднородным, результирует уравнения отличные от исходных!

Партикулярно-однородные уравнения можно образовать из неоднородных, однородных и партикулярно-однородных уравнений, имеющих решения, например,следующим образом:

$\[{{\text{x}}^{{\text{m }}}} = {z^{\text{n}}} - {y^{\text{n}}},{{\text{x}}^{\text{m}}}{\text{d}} = {z^{\text{n}}}d - {y^{\text{n}}}d,\]$ где $\[{x^m} = {z^{\text{n}}} - {{\text{y}}^{\text{n}}}\]$ имеющее решение уравнение,

$${\text{d}} = {\text{d}}_{\text{1}}^{{\text{kmn}}} = {{\text{x}}^{{\text{kmn}}}}.$$

После подстановки имеем:

$\[{{\text{x}}^{\text{m}}}{{\text{x}}^{{\text{km}}}}^{\text{n}} = {{\text{z}}^n}{{\text{x}}^{{\text{kmn}}}} - {{\text{y}}^n}{{\text{x}}^{{\text{kmn}}}}{\text{, }}{x^{{\text{m ( kn}} + {\text{1)}}}} = {({\text{z}}{{\text{x}}^{{\text{km }}}})^{\text{n}}} - {({\text{y}}{{\text{x}}^{{\text{km }}}})^{\text{n}}},k = 1,2,3, \cdot \cdot \cdot .\]$

Что касается Вами заданного решения:

$\[{y^3} = {z^2} - {x^2}{,3^3} = {6^2} - {3^{^2}}{,3^1} = {2^2} - {1^{^2}}.\]$

Следовательно, заданное Вами решение исхоит из неоднородного решения уравнения$\[{y^1} = {z^2} - {x^2}\]$ при
$\[y = 3,x = 1,z = 2\]$ с последующим приведением неоднородного решения к однородному, умножением значений переменных на квадрат числа 3.

С уважением: Sándor

[Руст]

Sandor в сообщении #386626 писал(а):

Руст писал(а):

- "Каким образом из ваших формул выражается решение ...... . Приведите явные значения ваших переменных".

Вы привели партикулярно-однородные решения уравнения! Их получить из приведенных формул нет возможности, почему они и партикулярные. Партикулярно-однородные уравнения - при фиксированных степенях - не имеют неоднородных решений. Поэтому их можно зачислить в отдельный класс уравнений. При равных степенях переменных партикулярных решений нет, в противном случае уравнение Ферма имело бы решения и при степенях больших 2. Приведение решений партикулярно-однородных уравнений к неоднородным, результирует уравнения отличные от исходных!

На все есть ответы. Только я ничего не слышал о партикулярно-однородных уравнениях. Не проще ли было сразу признать, что ваше решение не являлось общим.

[Sandor]

Руст писал(а):

- "На все есть ответы. Только я ничего не слышал о партикулярно-однородных уравнениях. Не проще ли было сразу признать, что ваше решение не являлось общим".

Слава науке, что она даёт ответы на возникающие вопросы!! А признавать мне ничего не приходится!!

Приведенный Вами пример является однородным решением уравнения

$${\text{y}} = {{\text{z}}^2} - {{\text{x}}^2}$$

Уравнения имеют неоднородные и однородные решения. Последние получаемы из неоднородных. Приведенные Вами однородные решения после сокращения не результируют неонородных решений рассматриваемого уравнения, почему они и партикулярны. Проще всего это признать! И совсем другой вопрос, что уравнение

$$27 = {6^2} - {3^2}$$

можно записать и в другом виде, например:

$${3^3} = {6^2} - {3^2}$$

Онако от этого приведенное решение ещё не становится решением исходеого уравнения. Правда, его можно признать удовлетворяющим исходному уравнению, его партикулярным решением. Это лишь вопрос интерпретации проблемы.
Поэтому считаю, что дискуссия по этому вопросу впредь беспредметна!

С уважением: Sándor

[anwior]

Sandor

(Оффтоп)

А вот я уже стал думать, лапша партикулярно-родная - лучше!

Вы солидарны?

[Sandor]

Anwior писал:
- "....... Вы солидарны?"

Вопрос принципиальный, не хочу его обойти! Я солидарен со всеми представителями и сторонниками научной истины, независимо от конкретных особ. Считаю, что всем свойственно ошибаться и все объязаны признать и исправлять свои ошибки, при условии, что они фактические. Токой подход облагораживает Человека! Но по дискуссионному вопросу не установлена истина, следовательно, и ошибка. Ведь спорным является не содержание вопроса, а интерпретация содержания. А так как точки зрения несовместимы, дискуссия стала беспредметной. Я считаю, что вопрос принципиальный, поэтому заинтересованной стороне необходимо запросить позицию высшей научной инстанции. Я приму её безоговорочно!

Спасибо за солидарность!

С уважением:Sándor