Вот я думаю, что индукция - лучше, а Вы как думаете?

[Xenia1996]

Вот детская задачка с Турнира Городов:

Сколько решений в НЧ имеет уравнение x^2+y^3=z^2?

Вот как решили эту задачу её авторы (такое длинное решение мне даже читать было лень): http://problems.ru/view_problem_details_ne...amp;x=0&y=0


А вот как я:

При x=1, y=2, z=3 решение существует.
Предположим, n^2+m^3=k^2.
Умножим это равенство на 64. Имеем (8n)^2+(4m)^3=(8k)^2.
Вроде всё?

[Sonic86]

Обычно при решении таких уравнений подразумевается, что компоненты тройки $(x,y,z)$ взаимно просты. У Вас это не так, а у авторов это как минимум почти так. Так что Ваше решение не прокатывает. Можете считать это небрежностью формулировки задачи, но то, что обычно подразумевается, надо помнить

[paha]

Конечно, формулировочка позволяет "халявное" решение:)))
у авторов приведено семейство, в котором бесконечно много попарно взаимно простых троек

-- Сб дек 11, 2010 13:59:48 --

(Оффтоп)

но условие есть условие... это же Олимпиада -- процедура инициации:) тут любой прием годица

[Sandor]

Общее решение уравнения

$${{\text{x}}^2} + {{\text{y}}^3} = {{\text{z}}^2}.$$

После преобоазования получаем:

$${{\text{y}}^3} = {{\text{z}}^2} - {{\text{x}}^2} = \left( {{\text{z}} + {\text{x}}} \right)\left( {{\text{z}} - {\text{x}}} \right) = {\text{U}}_2^3{\text{U}}_1^3.$$

Запишем вариант и формулы решения:

$$ \pm \left\{ \begin{gathered} {\text{z}} - {\text{x}} = {\text{U}}_1^3 \hfill \\ {\text{z}} + {\text{x}} = {\text{U}}_2^3 \hfill \\ \end{gathered} \right\},{\text{y}} = {{\text{U}}_1}{{\text{U}}_2},{\text{x}} = \frac{{{\text{U}}_2^3 - {\text{U}}_1^3}}{2}{\text{, z}} = \frac{{{\text{U}}_2^3 - {\text{U}}_1^3}}{2},$$

где

$${{\text{U}}_2} > {{\text{U}}_1}{\text{, }}\left( {{{\text{U}}_1}{\text{,}}{{\text{U}}_2}} \right) = {\text{d}} = 1 - $$

нечётные числа для неоднородных решений,$$\left( {{{\text{U}}_1}{\text{,}}{{\text{U}}_2}} \right) = {\text{d}} > 1 - $ $ для однородных решений.

[Руст]

Это не общее решение.
Надо разлагать в виде:
$z+x=u_1u_2^2u_3^3, z-x=u_1^2u_2u_4^3, y=u_1u_2u_3u_4.$
Это действительно общее решение.

[paha]

(Оффтоп)

Руст в сообщении #386132 писал(а):

Надо разлагать

раскладывать:^)))

"Разлагать" -- это статья

[hurtsy]

Xenia1996 в сообщении #386073 писал(а):

Вроде всё?

А где же индукция и какое отношение она(индукция) имеет к обсуждению? С уважением,

[migmit]

(Оффтоп)

paha в сообщении #386134 писал(а):

"Разлагать" -- это статья

Статья, вроде, "за растление"? Или я с тостом путаю...

[Sandor]

Руст писал (а): "Это не обшее решение ......".

Для приведенного примера данное мной решение общее! Ибо в случае одночлена с одним неизвестным в левой стороне уравнения и с многочленом с двумя линейными сомножителями в правой стороне уравнения формулы дают общие неоднородные и однородные решения, при указанных условиях. В случае одночлена с большим числом неизвестных или многочлена с большим числом линейных сомножителей действительно возможно сложное значение сомножителей в определённых и переопределённых уравнениях, приведенных к одночлену, при условии, что их произведение удовлетворяет одночлену, собственно значению степеней составляюших одночлена, исходя из основной теоремы:

$${\text{j}} > {\text{i}} = {\text{k}} > {\text{2}}{\text{,p}} > {\text{1}}{\text{,}}$$

где j- число сомножителей, i- число отличных действительных линейных сомножителей, k- число неизвестных правой стороны уравнения, p- число неизвестных одночлена.

Приведенные Вами формулы генерируют только частные однородные решения, ибо сомножители содержат общие множители и могут представляться многообразно, например при других комбинациях степеней и числа сомножителей.

В случае оппонирования, приведите, пожалуста, контрпример, опровергающий общность указанных мной формул.

С уважением: Sándor.

[paha]

(Оффтоп)

migmit в сообщении #386214 писал(а):

Статья, вроде, "за растление"? Или я с тостом путаю.

тело -- тлен, подвержено разложению... так то один чебурашко)))

[anwior]

Xenia1996 указала два явных решения уравнения темы (замечу в НЧ):
(x, y, z)=(1, 2, 3) и (x, y, z)=(8, 8, 24). --- преамбула.

Далее,

Sandor в сообщении #386127 писал(а):

Общее решение уравнения

$${{\text{x}}^2} + {{\text{y}}^3} = {{\text{z}}^2}.$$

После преобоазования получаем:

$${{\text{y}}^3} = {{\text{z}}^2} - {{\text{x}}^2} = \left( {{\text{z}} + {\text{x}}} \right)\left( {{\text{z}} - {\text{x}}} \right) = {\text{U}}_2^3{\text{U}}_1^3.$$

Запишем вариант и формулы решения:

$$ \pm \left\{ \begin{gathered} {\text{z}} - {\text{x}} = {\text{U}}_1^3 \hfill \\ {\text{z}} + {\text{x}} = {\text{U}}_2^3 \hfill \\ \end{gathered} \right\},{\text{y}} = {{\text{U}}_1}{{\text{U}}_2},{\text{x}} = \frac{{{\text{U}}_2^3 - {\text{U}}_1^3}}{2}{\text{, z}} = \frac{{{\text{U}}_2^3 - {\text{U}}_1^3}}{2},$$

где

$${{\text{U}}_2} > {{\text{U}}_1}{\text{, }}\left( {{{\text{U}}_1}{\text{,}}{{\text{U}}_2}} \right) = {\text{d}} = 1 - $$

нечётные числа для неоднородных решений,$$\left( {{{\text{U}}_1}{\text{,}}{{\text{U}}_2}} \right) = {\text{d}} > 1 - $ $ для однородных решений.

Вопрос: А Вы проганяли эти два решения (посредством подстановок) через соотношения и условия
в своем, акцент - общем решении?

[shwedka]

Sandor в сообщении #386127 писал(а):

Запишем вариант и формулы решения:

$$ \pm \left\{ \begin{gathered} {\text{z}} - {\text{x}} = {\text{U}}_1^3 \hfill \\ {\text{z}} + {\text{x}} = {\text{U}}_2^3 \hfill \\ \end{gathered} \right\},{\text{y}} = {{\text{U}}_1}{{\text{U}}_2},{\text{x}} = \frac{{{\text{U}}_2^3 - {\text{U}}_1^3}}{2}{\text{, z}} = \frac{{{\text{U}}_2^3 - {\text{U}}_1^3}}{2},$$

Объясните, пжлста, почему не может быть
$\left\{ \begin{gathered} {\text{z}} - {\text{x}} = {2\text{U}}_1^3 \hfill \\ {\text{z}} + {\text{x}} = 4{\text{U}}_2^3 \hfill \\ \end{gathered} \right\}$

[Sandor]

Anwior поставил(а) вопрос:

"А Вы проганяли эти два решения (посредством подстановок) через соотношения и условия в своем, акцент - общем решении?"

О каких двух решениях идёт речь? Проверку своего решения привожу:

$${{\text{y}}^3} = {{\text{z}}^2} - {{\text{x}}^2},$$

$${\text{U}}_2^3{\text{U}}_1^3 = {\left( {\frac{{{\text{U}}_2^3 + {\text{U}}_1^3}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{{\text{U}}_2^3 - {\text{U}}_1^3}}{2}} \right)^2} = \frac{{{\text{U}}_2^6 + 2{\text{U}}_2^3{\text{U}}_1^3 + {\text{U}}_1^6}}{4} - \frac{{{\text{U}}_2^6 - {\text{U}}_2^3{\text{U}}_1^3 + {\text{U}}_1^6}}{4} = {\text{U}}_2^3{\text{U}}_1^3.$$

Произвольные пары нечётных чисел

$${{\text{U}}_2} > {{\text{U}}_1}{\text{, }}\left( {{{\text{U}}_1}{\text{,}}{{\text{U}}_2}} \right) = {\text{d}} = 1 - $$

и чисел

$${{\text{U}}_2} > {{\text{U}}_1}{\text{, }}\left( {{{\text{U}}_1}{\text{,}}{{\text{U}}_2}} \right) = {\text{d}} > 1 - $$

пробегая по N, дают все неоднородные и однородные решения уравнения, исключая возможность отличных решений.

Рассматриваемое уравнение - как и уравнение Пифагора - исходит из более общего уравнения

$${{\text{y}}^{\text{m}}} = {{\text{z}}^2} - {{\text{x}}^2}$$

Однако общее решение уравнения Пифагора сомнения - понятным образом - ни у кого не вызывает.

Оппонирующих прошу привести контрпример, опровергающий общность указанных мной формул.

Shwedka писал(а):

"Объясните, пжлста, почему не может быть...?"

Ответ здесь же, повыше. Кроме того, может быть, но приводит к однородным решениям, получение которых возможно из неоднородных решений, или при

$$\left( {{{\text{U}}_1}{\text{,}}{{\text{U}}_2}} \right) = {\text{d}} > 1.$$

[shwedka]

Sandor в сообщении #386362 писал(а):

Ответ здесь же, повыше. Кроме того, может быть, но приводит к однородным решениям, получение которых возможно из неоднородных решений, или при

$$\left( {{{\text{U}}_1}{\text{,}}{{\text{U}}_2}} \right) = {\text{d}} > 1.$$

Ответа не увидела. А жду.

Цитата:

но приводит к однородным решениям,

Докажите!

Sandor в сообщении #386362 писал(а):

Оппонирующих прошу привести контрпример, опровергающий общность указанных мной формул.

Оппонирующим достаточно указать на отсутствие доказательства некоторых утверждений.

[Руст]

Sandor в сообщении #386362 писал(а):

Оппонирующих прошу привести контрпример, опровергающий общность указанных мной формул.

При каких $u_1,u_2$ получается тривиальное решение $x=1,y=2,z=3?$