В группе при некоторых условиях верно a=b=e

[r2d]

Задача из книги Malik, Mordeson, Sen "Fundamentals of Abstract Algebra" (наверно встречается и в других книгах):

Если для элементов $a$ и $b$ группы $G$ выполняются
$a^{-1}b^2a=b^3$
$b^{-1}a^2b=a^3$
то доказать, что $a=b=e$

[r2d]

Довольно долго крутил, в итоге получилось кое-что. Привожу набросок своего решения.

(Оффтоп)

Запишем данные условия в виде

$baaa=aab \ \ \ \ (1)$

$abbb=bba \ \ \ \ \ (2) $

Тогда получим

$baabba=aabbbb$

$abbaab=bbaaaa$

Из последних вытекает

$baabbbaaba=abbabbbaab$

которое с помощью (1) и (2) путем понижения третьей степени элементов $a$ и $b$ дает нам $babaabba=babba$ из которого следует $aab=e.$ Далее решается легко.

Можно ли решить более просто и каким образом подходить к таким задачам?

[neo66]

Боюсь, что проще никак. $b^2a=ab^3,a^2b=ba^3$.
Отсюда $b^2aa^2b=ba^3ab^3$. То есть $ba^3=a^4b^2$. Значит, из второго равенства, $a^2b=a^4b^2$. Значит, $e=a^2b$. Значит, $e=ba^3$. Значит, $a^2=a^3$. Значит $a=e$. Ну, и, значит, $b=e$.

[r2d]

neo66 в сообщении #386332 писал(а):

$b^2a=ab^3,a^2b=ba^3$.
Отсюда $b^2aa^2b=ba^3ab^3$.

Должно быть $b^2aa^2b=ab^3ba^3$?

[neo66]

Да, ошибся.