о гладких бесконечно малых

[zluka]

Вот у меня возник вопрос.
Пусть g(x) - непрерывная (или дифференцируемая) вещественная функция g(0)=0
Можно ли и если да то как построить аналитическую вещественную функцию f(x), чтобы f=o(g) в x=0.

[bozhok]

$f(x)=g^2(x)$?

[zluka]

Такая f(x) ни разу не аналитична.

[ИСН]

Если $g(x)=e^{-{1\over x^2}}$, то, боюсь, никакая аналитическая функция этого не пере....

[bozhok]

zluka в сообщении #385994 писал(а):

Такая f(x) ни разу не аналитична.

Извините, уже и условие до конца не читаю. Видимо, спать пора

[zluka]

Вот это уже в нужном направлении. Я тоже пришел к этой функции но мне кажется, что можно и этого зверя одолеть.

[paha]

zluka в сообщении #386002 писал(а):

что можно и этого зверя одолеть

только нулем:) тоже себе аналитическая функция

[zluka]

разумеется хочется что-нибудь отличное от 0.

[ИСН]

Я утвердился во мнении, что такого подарка не будет. Смотрите: первая производная ноль. Вторая...

[zluka]

вторая тоже 0. И так далее. ну разумеется. Но это всего лишь значит что они обе бесконечно бесконечно малы.
Ведь даже эту коварную
$g(x)=e^{-{1\over x^2}}$
можно подправить так чтобы она была еще меньше (например умножить на x^2) и тут же уже и дифференцируемость появится. Может и аналитичность где-нибудь не за горами?

[ewert]

ewert в сообщении #386200 писал(а):

можно подправить так чтобы она была еще меньше (например умножить на x^2) и тут же уже и дифференцируемость появится.

Она и так была, умножение на степень ровно ничего не изменит.

Кстати, это действительно хоть какая-то, но задачка. Доказать: если $f(x)=o(e^{-1/x^2})$, и $f(x)\not\equiv0$, то $f$ -- неаналитична.

Так просто это не следует: например, из о-малости вовсе не следует, что первая производная равна нулю. Т.е. следует, конечно, что она или равна нулю, или не существует. Но дальше пришлось бы обсосать ещё и все остальные производные.

(но из ряда Тейлора, конечно, следует достаточно сразу)

[zluka]

Так вот же аналитическая функция
$ f(x)=xe^{-{1\over x^2}}$
аналитическая и не тождественный 0 и о(g)
Или я что-то не понимаю?

[paha]

zluka в сообщении #386239 писал(а):

Так вот же аналитическая функция
$ f(x)=xe^{-{1\over x^2}}$

она не аналитическая:(((
лишь бесконечно дифференцируемая
(в области, содержащей точку $x=0$)

[ИСН]

равно как и сама g(x)

[zluka]

ага.
так все-таки объясните пожалуйста почему из ряда Тейлора - все ясно...