2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 00:07 


28/10/10
89
Вот у меня возник вопрос.
Пусть g(x) - непрерывная (или дифференцируемая) вещественная функция g(0)=0
Можно ли и если да то как построить аналитическую вещественную функцию f(x), чтобы f=o(g) в x=0.

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 00:15 


16/05/09
24
$f(x)=g^2(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 00:16 


28/10/10
89
Такая f(x) ни разу не аналитична.

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Если $g(x)=e^{-{1\over x^2}}$, то, боюсь, никакая аналитическая функция этого не пере....

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 00:27 


16/05/09
24
zluka в сообщении #385994 писал(а):
Такая f(x) ни разу не аналитична.

Извините, уже и условие до конца не читаю. Видимо, спать пора :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 00:28 


28/10/10
89
Вот это уже в нужном направлении. Я тоже пришел к этой функции но мне кажется, что можно и этого зверя одолеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
zluka в сообщении #386002 писал(а):
что можно и этого зверя одолеть

только нулем:) тоже себе аналитическая функция

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 18:20 


28/10/10
89
разумеется хочется что-нибудь отличное от 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я утвердился во мнении, что такого подарка не будет. Смотрите: первая производная ноль. Вторая...

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 18:43 


28/10/10
89
вторая тоже 0. И так далее. ну разумеется. Но это всего лишь значит что они обе бесконечно бесконечно малы.
Ведь даже эту коварную
$g(x)=e^{-{1\over x^2}}$
можно подправить так чтобы она была еще меньше (например умножить на x^2) и тут же уже и дифференцируемость появится. Может и аналитичность где-нибудь не за горами?

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 19:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ewert в сообщении #386200 писал(а):
можно подправить так чтобы она была еще меньше (например умножить на x^2) и тут же уже и дифференцируемость появится.

Она и так была, умножение на степень ровно ничего не изменит.

Кстати, это действительно хоть какая-то, но задачка. Доказать: если $f(x)=o(e^{-1/x^2})$, и $f(x)\not\equiv0$, то $f$ -- неаналитична.

Так просто это не следует: например, из о-малости вовсе не следует, что первая производная равна нулю. Т.е. следует, конечно, что она или равна нулю, или не существует. Но дальше пришлось бы обсосать ещё и все остальные производные.

(но из ряда Тейлора, конечно, следует достаточно сразу)

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 20:12 


28/10/10
89
Так вот же аналитическая функция
$ f(x)=xe^{-{1\over x^2}}$
аналитическая и не тождественный 0 и о(g)
Или я что-то не понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
zluka в сообщении #386239 писал(а):
Так вот же аналитическая функция
$ f(x)=xe^{-{1\over x^2}}$

она не аналитическая:(((
лишь бесконечно дифференцируемая
(в области, содержащей точку $x=0$)

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
равно как и сама g(x)

 Профиль  
                  
 
 Re: о гладких бесконечно малых
Сообщение11.12.2010, 20:30 


28/10/10
89
ага.
так все-таки объясните пожалуйста почему из ряда Тейлора - все ясно...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group