Как доказать комбинаторное тождество?

[trizold]

$2^m(m+1)=\sum\limits_{j=0}^{m}C^j_m(2j+1)$

[bozhok]

Воспользоваться равенством $2=1+1$ и разложить $2^m$.

[EtCetera]

Можно еще так:
$\sum\limits_{j=0}^m\binom{m}{j}(2j+1)=\left.\left(\sum\limits_{j=0}^m\binom{m}{j}x^{2j+1}\right)'\right|_{x=1}=\left.\left(x\sum\limits_{j=0}^m\binom{m}{j}\left(x^2\right)^j\right)'\right|_{x=1}=\dots$

[trizold]

Спасибо Вам за ответы.

bozhok в сообщении #386144 писал(а):

Воспользоваться равенством $2=1+1$ и разложить $2^m$.

Разложил, но что делать с $(m+1)$?

-- Сб дек 11, 2010 16:10:19 --

Да, понимаю, при разложении применить $\binom{m}{j}=\binom{m}{m-j}$. Но как записать средние члены $(\binom{m}{0}+\binom{m}{1}+...+\binom{m}{m-1}+\binom{m}{m})(m+1)=(\binom{m}{m-0}+\binom{m}{m-1}+...+\binom{m}{m-1}+\binom{m}{m})(m+1)=\binom{m}{m}(2*m+1)+\binom{m}{m-0}(2(m-0)+1)+\binom{m}{m-1}(2(m-1)+1)+\binom{m}{1}(2*1+1)+...$

-- Сб дек 11, 2010 16:18:48 --

И еще. Можно тождество доказать как-то через интеграл?

[bozhok]

$2\cdot m2^{m-1}+2^m$. Разложить каждое из слагаемых и потом объединить. Проще, если начать доказывать с правой части равенства. Или, действительно, как подсказал EtCetera, продифференцировать вспомогательную сумму.