Дискретизация случайных процессов.

[st256]

Вообще, есть такое убеждение, что случайные процессы можно дискретизировать согласно теореме Котельникова. Т.е. если преобразование Фурье автокореляционной функции стационарного эргодического процесса имеет конечный носитель, то типа - ради Бога, дискретизируйте.

Но! Я нигде не нашел строгого обоснования сего факта. Поясняю: по теореме Котельникова мы можем дискретизировать только функции со следующими свойствами
1) спектр этих функций имеет конечный носитель
2) функции интегрируемы
3) удовлетворяют условиям Дирехле

Но стационарный процесс не дает реализаций, попадающих под понятие "интегрируемая функция". Кроме того, они (реализации) имеют бесконечную норму и потому не могут быть векторами пространства Гильберта, и, следовательно, преобразование Фурье для них не существует. Стало быть и спектр там не определен. Я, конечно, слышал краем уха, про всякого рода "доопределения". Например, кто-то может сказать что у дельта-функции (или синусоиды) есть спектр. Но это все рассуждения некорректные, приводящие к коллизиям.

Так есть или нет что-то корректное в отношении дискретизации стационарного случайного процесса?

[Gortaur]

У вас есть процесс с непрерывным распределением и в непрерывном времени? Что тогда Вы хотите дискретизировать, с какой точностью, для каких целей?

[st256]

Я хочу получить биекцию: непрерывный процесс - последовательность отсчетов этого процесса.

[Gortaur]

Я вроде работаю со стохастическими процессами, но вот про отсчеты не слышал ни разу - не могли бы Вы пояснить?

[st256]

Есть функция без разрывов $ x(t) $. В том случае, если ее спектр (а именно классическое интегральное преобразование Фурье) имеет конечный носитель (а иначе говорят - имеет финитный спектр), то возможно отобразить функцию $ x(t) $ на последовательность ее значений $ x(nT) $. При этом, если соблюдаются некоторые, перечисленные мной ранее условия, то возможно и обратное отображение: из последовательности $ x(nT) $ мы можем получит первоначальную функцию $ x(t) $.

Так вот, значения $ x(nT) $ называют отсчетами (дискретами, samples и т.д.) функции $ x(t) $.

[Gortaur]

Реализация случайных процессов непрерывны бывают, чем Вам плохо для интегрируемости?

[AD]

st256 в сообщении #386051 писал(а):

Я, конечно, слышал краем уха, про всякого рода "доопределения". Например, кто-то может сказать что у дельта-функции (или синусоиды) есть спектр. Но это все рассуждения некорректные, приводящие к коллизиям.

Непраааааавда!!! Преобразование Фурье обобщенных функций - вполне себе корректная штука, если аккуратно изучить соответствующую теорию.

Перенёс в корневой раздел.

[мат-ламер]

В теореме Котельникова что-то про случайные процессы говорится? На память не помню, но там вроде говорится о возможности восстановления детерминированной функции по отсчётам (т.е. по сути - задача интерполяции имеет единственное решение) в случае если преобразование Фурье той функции имеет ограниченный носитель (т.е. отлично от нуля на конечном интервале). (Поправьте, если что не так).

[st256]

мат-ламер в сообщении #386261 писал(а):

В теореме Котельникова что-то про случайные процессы говорится?

Увы, нет! Если бы что-то такое говорилось, я б неприменно об этом знал.

Но вся трагедия в том, что теорему, введенную для детерминированных функций, сейчас все охотно пользуют именно для случайных процессов. Это очень эффективно, признаю, но... но не могу же я в доказательстве своей теоремы сослаться, на то, что "все так делают"? Вот и вопрошаю честной народ "а как правильно?"

мат-ламер в сообщении #386261 писал(а):

На память не помню, но там вроде говорится о возможности восстановления детерминированной функции по отсчётам (т.е. по сути - задача интерполяции имеет единственное решение) в случае если преобразование Фурье той функции имеет ограниченный носитель (т.е. отлично от нуля на конечном интервале). (Поправьте, если что не так).

Вы правы и неправы одновременно. Действительно, в аутоинтичной формулировке говориться о "возможности восстановления детерминированной функции по её отсчётам ". Но этой формулировке 100 лет в обед (если точнее, то 77). А в то время, к формулировкам относились несколько поверхностно. Сейчас она бы звучала так "о возможности разложение детерминированной функции в обобщенный ряд Фурье, где коэффициентами являются отсчёты данной функции". Т.е. восстановление имеет быть только в среднеквадратичном смысле. Я легко могу построить пример, который попадает под все требования Котельникова, но "восстановлен по своим отсчетам" быть не может.

-- Сб дек 11, 2010 23:07:23 --

AD в сообщении #386231 писал(а):

Непраааааавда!!! Преобразование Фурье обобщенных функций - вполне себе корректная штука, если аккуратно изучить соответствующую теорию.

Не хотелось бы Вас расстраивать, но это чистая правда. Все эти "пространства Соболева", они, понимаете ли, для наукообразия. А к действительности сии построения отношения не имеют. Я же говорил про коллизии? А Вы - про возможность нахождения Преобразования Фурье. Ну вот разберем пример. Я его уже раз 10 приводил, но почему-то меня никто не слушает...

Найдем значение Преобразования Фурье дельта Функции Дирака в точке $ \omega = 0 $

Итак, дельта-функция была введена сэром Дираком для удовлетворения таким его тайным прихотям:

$$ x(t)= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta (t-\tau)x(\tau)d\tau $$

Отсюда легко вывести, что площадь дельта-функции равна 1 (ну положите $x(t)=1$ и выполните простенькую подстановку). Но площадь дельта-функции это и есть значение ее спектра в точке $ \omega = 0 $

$$ \Delta (0) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta (t) e^{-j 2 \pi\omega t} dt |_{\omega = 0} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta (t) e^{-j 2 \pi 0 t} dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta (t) dt $$

Казалось бы победа? К сожалению, несовсем. Если мы и дальше будем исследовать фильтрующее свойство дельта-функции (тайные прихоти сэра Дирака), то неумолимо придем к неизбежному выводу - носитель дельта-функции, увы, единственная точка. Т.е. мера Лебега -ноль. Но для этого случая придумана лемма дю Буа Реймонда, в которой однозначно доказано, что определенный интеграл для таких функций (ну их площадь) равен... тоже нулю.

Т.е. с одной стороны, площадь дельта-функции - единица, а с другой сторны - ноль. Коллизия, однако. И как тут быть, никто мне пока не объяснил. Если сможете объяснить Вы, то я заново изучу наследие наших дельта-функционеров.

[st256]

Gortaur в сообщении #386225 писал(а):

Реализация случайных процессов непрерывны бывают, чем Вам плохо для интегрируемости?

Причем тут непрерывность? Синусоида тоже непрерывна, но она неинтегрируема.

[AD]

st256 в сообщении #386276 писал(а):

Т.е. с одной стороны, площадь дельта-функции - единица, а с другой сторны - ноль. Коллизия, однако. И как тут быть, никто мне пока не объяснил. Если сможете объяснить Вы, то я заново изучу наследие наших дельта-функционеров.

Ну что за детский сад. Дельта-функция - не функция, а рассуждения про меры относятся только к функциям.
Изучайте, не пожалеете. Только по-нормальному (то есть если в книжке внятно сказано, как строится локально-выпуклое пространство пробных функций, и что преобразование Фурье есть, скажем, изоморфизм $\mathcal{S}^*$ на себя, то она подходит), а не "как физики" (no offense, в переносном смысле). И будет Вам счастье.

[Gortaur]

Я кстати так и не понял, если Вы дискретизируете случаный процесс, то у Вас получится эквивалентный процесс с меньшей случайностью - не так ли?