"Однородные" координаты на сфере (обычной)

[arseniiv]

Есть какая-нибудь система координат, чтобы якобиан перехода из декартовых не зависел от каких-то координат? (Например, для сферической системы он ведь равен $\rho^2 \sin \theta$, но т. к. у нас сфера, $\rho = \mathrm{const}$, но он зависит от $\theta$.) (Надеюсь, я правильно сформулировал.) На окружности такого нет! Или это связано с тем, что 2-сферу невозможно "причесать"?

-- Сб дек 11, 2010 01:31:30 --

Если по аналогии на 3-сфере ввести сферическую СК с дополнительным углом $\psi$, якобиан будет вроде равен $\rho^3 \sin \theta \sin^2 \psi$. Думал, вдруг не будет зависеть от углов.

[paha]

arseniiv в сообщении #385934 писал(а):

Есть какая-нибудь система координат, чтобы якобиан перехода из декартовых не зависел от каких-то координат? (Например, для сферической системы

На сфере нет декартовых координат:((

Декартовы бывают только в $\mathbb{R}^n$

[ИСН]

Постоянный якобиан не есть универсальное благо. Сделать-то его, наверное, можно.

[paha]

Ваш исходный вопрос может быть так переформулирован (локально):

Охарактеризовать дифференцируемые отображения $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ с постоянным ненулевым якобианом

Я кроме $f(x)=Ax+b$ ничего сходу назвать не могу

-- Пт дек 10, 2010 23:58:44 --

боюсь, ими всё и исчерпывается

[ИСН]

На сфере, коллега. Пусть не везде постоянным, пусть только на сфере.

[paha]

paha в сообщении #385984 писал(а):

Охарактеризовать дифференцируемые отображения $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$,

что ограничение якобиана на некоторую сферу постоянно... так?

-- Сб дек 11, 2010 00:49:47 --

ИСН в сообщении #386000 писал(а):

На сфере, коллега.

сфера была приведена как пример... который я не понял:)

Ну... возьмем какое-нибудь преобразование координат $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ и точку $a$ из образа его якобиана $J_f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$. В случае невырожденности "гессиана" $dJ_f$ в тех точках $x\in\mathbb{R}^n$, в которых $J_f(x)=a$, полный прообраз $J_f^{-1}(a)$ будет подмногообразием... вероятно, нетрудно подобрать $f$ чтобы это была сфера