Значение Пи - математический или эмпирический факт?

[venco]

Garik2 в сообщении #283800 писал(а):

Заканчивать рано! Вот что обнаружил я по поводу приведенной формулы Валлиса. Она для вычисления великой константы малопригодна, так как сходимость чрезвычайно медленная. Но если чуточку подкорректировать "хвостик" формулы, то точность увеличится ни много ни мало - аж в 100000 раз! Вы где-нибудь такое видели? В статье по ссылке <http://traditio.ru/wiki/Формула_Валлиса-Александрова> это наглядно доказывается. Сперва не поверил - проверил. Все оказалось верным. А вы говорите закрывать!

А здесь формулу можно привести, а то сайт что-то тормозит...

-- Вт янв 26, 2010 13:30:38 --

Посмотрел.
Не на 5 порядков, а на 2, что тоже неплохо.
Точность оригинальной формулы порядка $O(\frac 1 n)$, а новой - $O(\frac 1 {n^3})$.

-- Вт янв 26, 2010 13:37:41 --

Всё равно для практических вычислений новая формула не пригодна, а красота пропала.
Можно и дальше сходимость повышать, добавляя поправки вида $\frac {C}{n^k}$.

[Garik2]

Точность не так вычисляется. В обеих формулах максимальное значение n принималось равным 500. При этом по формуле Валлиса абсолютное отклонение от pi составило примерно 1.6 * 10^(-4) , а по формуле Валлиса-Александрова - всего 2 * 10^(-9). Это отклонение, как ни странно, почти в сто тысяч раз меньше.

[venco]

Garik2 в сообщении #283884 писал(а):

Точность не так вычисляется.

А как, по вашему?

Garik2 в сообщении #283884 писал(а):

В обеих формулах максимальное значение n принималось равным 500.

А почему не 100, или 1000000?

Garik2 в сообщении #283884 писал(а):

При этом по формуле Валлиса абсолютное отклонение от pi составило примерно 1.6 * 10^(-4) , а по формуле Валлиса-Александрова - всего 2 * 10^(-9). Это отклонение, как ни странно, почти в сто тысяч раз меньше.

Так вот, относительная точность формулы Валлиса - $\frac 1{4n}$.
Формула Валлиса-Александрова, по сути - $Wallis_n\times(1+\frac 1{4n}-\frac 3{32n^2})$, и её относительная точность - $\frac 3{128n^3}$.
Добавляя ещё члены в поправку, можно добится любого порядка точности, но какой в этом смысл?

[Garik2]

Буду весьма благодарен, если покажете - какую добавить следующую дробь в добавочной части, чтобы точность еще более увеличить?

[Garik2]

То, что формулу можно бесконечно улучшать - факт неоспоримый. Здесь же случай особый: минимальными средствами, почти не изменяя числовой структуры формулы Валлеса, получен ряд, с которым уже можно работать. Например, если принять n=50000, то отклонение от $\pi$ по формуле Валлеса будет $1.57 \cdot 10^{-5}$, а по формуле Валлеса-Александрова $5.89 \cdot 10^{-16}$. Пять верных знаков и шестнадцать верных знаков числа $\pi$ , согласитесь, - разница огромная. А всего-то за счет добавления в самом конце формулы Валлеса нескольких постоянных коэффициентов.

[venco]

Следующий член я уже написал. Если умножать на $(1+\frac 1{4n}-\frac 3{32n^2}+\frac 3{128n^3})$, то погрешность будет $O(\frac 1{n^4})$.
Таким способом можно много медленно сходящихся рядов улучшать. Но сходимость не улучшится принципиально. Если нужно посчитать $\pi$ с очень большой точностью, всё равно эта формула слишком плоха, поэтому используют другие формулы.
Но формулу Валлиса можно использовать в выводе других равенств, из-за её регулярной структуры, а модифицированную - уже не получится.

[venco]

Возьмём, к примеру, другой всем известный медленно сходящийся ряд:
$\frac 1 1 - \frac 1 3 + \frac 1 5 - \frac 1 7 + ... = \frac {\pi}4$
Если после очередного вычитания $\frac 1 {4k-1}$ прибавить поправку $\frac 1 {2^3k} - \frac 1 {2^7k^3} + \frac 5 {2^{11}k^5}$, и на этом остановиться, то точность получившейся суммы будет порядка $O(\frac 1 {k^7})$.
Таких уточнений можно легко наделать кучу. Правда, доказать оценку сходимости гораздо сложнее.

[Garik2]

venco в сообщении #283968 писал(а):

Следующий член я уже написал. Если умножать на $(1+\frac 1{4n}-\frac 3{32n^2}+\frac 3{128n^3})$, то погрешность будет $O(\frac 1{n^4})$.
Таким способом можно много медленно сходящихся рядов улучшать.

Вот это интересно! Какое же общее выражение будет в круглых скобках? Пришла в голову мысль - сделать формулу смешаной, то есть произведение умножается на сумму, причем количество сомножителей и количество слагаемых одинаково и равно n. Видимо, в этом случае сходимость к $\pi \,$ будет очень быстрой. Рамануджана любил такие смешанные функции...

[serega57]

Ребята вы чего спорете если вам нужен эмпирический ответ то вот 837269 разделите на 266511 это значение пи в первом стихе Библии А если математический то 8 знаков при помощи циркуля и линейки я начерчу за1 минуту а 16 ЗА 4

[hurtsy]

serega57 в сообщении #363728 писал(а):

вот 837269 разделите на 266511 это значение пи в первом стихе Библии

А точнее ссылку нельзя дать. Год издания? Еще лучше пару строчек скопировать. Такая формула дает 9 точных цифр $\pi$ на использованные 12. Слишком точно для времен рукописи и глазомерных измерений.
Garik2
Я взял 11 точных цифр 31415926536 и факторизовал в Mapl. Получилось представление $436332313*2^3*3^2$. Использованы 13 цифр. Имхо, использование деления неэкономно для Ваших исследований. С уважением,

-- Пт окт 29, 2010 23:44:31 --

А вот еще разложение

$$31415926535897932384626433832795=13792316676421*(73*(5*7)*185825309)*4797521$$

.

[Nikolay1985]

Интересно отметить, что многие древние религии наряду с не менее древними философами придерживались мысли о том, что вся наша физическая реальность может быть описана с чисто геометрической точки зрения. Рассуждая о значении Пи, можно заметить, что многие физические и математические формулы содержат в себе эту загадочную константу. Долгое время ломая голову над её смыслом, разные учёные выдвигали самые разнообразные объяснения этого числа. В основе вещей лежит число, учил древнегреческий философ и математик Пифагор, познать мир — значит познать управляющие им числа. Изучая числа, пифагорейцы разработали числовые отношения и нашли их во всех областях человеческой деятельности. Придерживаясь данной точки зрения, можно сказать, что числа и физическая реальность - математика и физика - суть разные проявления одной сущности и если мы не знаем смысл какого-то числа (особенно одной из самых распространённых констант, т. е. Пи), то мы ничего не знаем о его физической сути. И это, действительно, находит подтверждение, т. к., судя по неуменьшающемуся количеству споров и разнотолков вокруг одного числа, Пи всё ещё остаётся для людей загадкой. Мы, конечно, можем сказать, что Пи - это число (если позволите, коэффициент пропорциональности), показывающее, во сколько раз периметр (или длина окружности) больше её диаметра, или, что Пи - это число, показывающее, во сколько раз площадь круга больше площади квадрата, стороны которого равны радиусу этого круга и так далее и тому подобное. Т.е. в любом случае мы определяем Пи как некий коэффициент пропорциональности, показывающий, что одна величина больше (меньше) другой в Пи раз. Но мы до сих пор не можем понять, почему Пи равно 3.14159..., почему оно иррационально, почему оно является одной из фундаментальных констант (т. е. присутствует в невообразимом количестве формул физики и математики. О методах вычисления Пи с древности и до наших дней, а также об областях, где оно появляется интересно прочитать книгу А.В. Жукова "Вездесущее число Пи". - М.: Едиториал УРСС, 2004 г.) и т. д. Складывается ощущение, что за этой константой скрывается невообразимый мир, что всё сущее каким-то мистическим образом связано с этой константой. Здесь невольно станешь повторять Пифагора: "В основе вещей лежит число". Почему значение Пи в квадрате очень близко к значению ускорения свободного падения g? Почему Пи связано с "золотым сечением"? Почему Пи присутсвует в формуле для плотности вероятности нормального закона распределения? Почему через Пи можно выразить отношение масс электрона и протона? И ещё много-много других "почему?" Можно даже докатиться и до такого: почему Пифагор тоже начинается на Пи? =))) Но шутки шутками, а реальность реальностью. Некоторые наверняка обращали внимание на то, что Пи без мантиссы даёт точное число независимых координат для нашего 3-х мерного пространственного измерения, но не задумывались, что может означать "довесок" после запятой. Свет на это отчасти может пролить теория немецкого учёного Теодора Калуцы, который в первой четверти 20 века предложил ввести в математическую физику пятое измерение, послужившее основой для теории Калуцы-Клейна. Так вот с точки зрения этой теории, получается, что мантисса Пи означает наличие неких свёрнутых в петли дополнительных измерений, присутствующих в нашем с вами трёхмерном измерении. Но эти петли настолько малы (порядка планковской длины), что их до сих пор не удалось обнаружить. Теория, действительно, оригинальная, особенно, если учесть, что многие из нынеживущих космологов и астрофизиков типа Стивена Хокинга, Роджера Пенроуза и др. утверждают, что с помощью этих пространственно-временных петель можно будет в будущем путешествовать в пространстве и времени, а также в параллельные Вселенные. Но для этого людям сначала надо будет научиться разворачивать эти петли до масштабов десятков метров, что по теоретическим прикидкам потребует создания экзотической материи, масса которой отрицательна, а также такого количества энергии, которое люди ещё долго не смогут получить. Размышляя над этими фактами, можно предложить ещё одну интерпретацию числа Пи. Известно, что в 70-е годы 20 века французский математик Бенуа Мандельброт создал теорию фракталов, как воплощение геометрии будущего, с помощью которой можно количественно описать геометрические объекты природы, форма которых изобилует "нелинейностями", которых так стараются избегать учёные и инженеры во многих областях науки и техники (вследствие громоздкости математических вычислений нелинейных функций). База, на которой зиждется теория фракталов, была создана во времена кризиса математики в период с последней четверти 19 века (когда Дюбуа-Реймон впервые сообщил миру о непрерывной недифференцируемой функции, построенной Вейерштрассом) по первую четверть 20-го века такими математиками, как Кантор, Пеано, Лебег, Хаусдорф, Безикович, Больцано, Чезаро, Кох, Осгуд, Серпинский, Урысон. Заслуга Мандельброта состоит в обобщении обширного материала, придании ему наглядности с помощью компьютерного моделирования (так впервые была открыта красота прекрасных фрактальных форм, близких к естественным формам живой природы) и применении обобщённой теории в описании многочисленных физических явлений и процессов в разных областях науки. Суть теории фракталов заключается в определении фрактала: фрактальным называется объект (или множество), размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности. Под топологической понимается пространственная размерность геометрических фигур, например, у прямой топологическая размерность равна одному (длина; по числу координат или измерений), у точки - равна 0 (в соответствии с математическим определением точки, она не имеет размеров), у плоскости - двум, у шара топологическая размерность равна трём. А вот размерность Хаусдорфа-Безиковича принимает значения между двумя соседними целыми значениями и является дробной! Т. е. существуют такие геометрические объекты, геометрическая размерность которых является дробной. Например, существует множество, называемое канторовой пылью, топологическая размерность которого равна 0, а рХБ - лежит в пределах от 0 (не включая 0) до 1. Или другой пример, кривая Пеано, рХБ которой может равняться 2, т. е. кривая, которая полность заполняет собой всю плоскость (кривая=плоскость)! Неудивительно, что многие консерваторы математики называли такие математические объекты "чудовищами" и "монстрами". Так вот, вернёмся к сути нашего рассуждения о природе и сути числа Пи. Если мы попытаемся построить окружность из равностороннего многоугольника, при условии что число сторон стремится к бесконечности, то в пределе получим окружность. Это идея ПИфагорейца (опять Пи!) Бризона (5 в до н. э.), который пытался найти с помощью вписанного и описанного вокруг окружности многоугольников её длину. Это один из простейших методов нахождения Пи, но и от него веет чем-то таинственным, так как в результате мы всё равно не достигаем сути. Бесконечности, пределы, всё уменьшающиеся числа при всё увеличивающемся до бесконечности их общем числе, окружности, шары... Можно предположить следующее. А что если шар - это не обычный "топологический" объект, а наоборот фрактальный?! И показателем к тому будет являться как раз-таки дробность и иррациональность Пи. Что, если численное значение Пи, характеризует размерность Хаусдорфа-Безиковича, но только в продолжении возрастания топологической размерности (от трёх)? Будет закономерен вопрос: "Возрастание куда?" Ну, разумеется в четвёртое пространственное измерение! Насколько бы абсурдной не была эта идея, но всё же, она как никак косвенно выступает в защиту теории Калуцы-Клейна, но качественно идёт дальше её и говорит, что четвёртое пространственное измерение находится не где-то рядом с нами в виде петель, а концентрируется на пограничном слое предметов шарообразной или круглой формы. Правда она не объясняет, почему именно шарообразной (ну, структура такая!), но всё-таки. А сама мантисса числа Пи уже показывает, насколько далеко в четвёртое измерение вторгаются объекты шарообразной формы. И, может быть, это как-то связано с тем, что шар является самой энергетически выгодной формой в природе, благодаря чему жидкости в невесомости принимают именно его - шара - форму? Недавно учёные открыли явление изменения значения фундаментальной космологической "постоянной" (альфа), ставящее под удар утверждение о постоянстве скорости света. Если такие фундаментальные постоянные способны изменять своё значение, т. е. уже не быть постоянными, то не говорит ли это в пользу возможности изменения и остальных констант? Может, наше измерение уже начинает потихоньку сжиматься, не дождавшись срока, объявленного учёными, о чём и говорит непостоянство "постоянных"? Отсюда, новый вопрос: не являются ли значение числа Пи, круглая форма предметов, многие таинственные явления, связанные с летающими шарами, шаровыми молниями и "физикой округлостей", параллельные Вселенные космологов и астрофизиков да и вся структура пространства и времени следствиями одной причины?

[hurtsy]

Nikolay1985 в сообщении #382702 писал(а):

Некоторые наверняка обращали внимание на то, что Пи без мантиссы даёт точное число независимых координат для нашего 3-х мерного пространственного измерения, но не задумывались, что может означать "довесок" после запятой.

Более того, в мантиссе 3 встречается бесконечное число раз. Также часто можно найти любое сочетание десятичных цифр по 2, по 3 и т.д. К чему бы "сие знамение". А все же, какая дискусионная цель Вашего реферата. Для меня это тайна. С уважением,

[iig]

Похоже, вы отошли от темы (фрик?) и занялись методами вычислений числа Пи.
Это чисто математическая величина, вроде предела, к которому стремиться малая область даже в кривом пространстве.
Первоначально возникла эмпирически, когда меряли веревками, затем обосновали и дурью маялись вычисляя слишком точно.
Что интересно, никому не приходило в голову так мучаться по поводу экспоненты, хотя для практики не менее важно.
Что касается постоянной тонкой структуры, то тут пока на уровне античности - известна с высокой точностью только из экспериментов, математического определения пока нет.

[Nikolay1985]

hurtsy в сообщении #383446 писал(а):

А все же, какая дискусионная цель Вашего реферата. Для меня это тайна.

Вот вы в точку попали! Чтобы заинтересовать в вопросе читателей, надо внести в сообщение элемент тайны, пробудить у них желание отыскать истинный ответ.

-- Пт дек 10, 2010 12:17:11 --

iig в сообщении #385545 писал(а):

Похоже, вы отошли от темы (фрик?) и занялись методами вычислений числа Пи.
Это чисто математическая величина, вроде предела, к которому стремиться малая область даже в кривом пространстве.
Первоначально возникла эмпирически, когда меряли веревками, затем обосновали и дурью маялись вычисляя слишком точно.

Меня интересует истинная причина существования Пи, почему Пи есть и почему оно именно такое. Ответ на этот вопрос и будет окончательным ответом на вопрос данной дискуссии. Я попытался охватить в совокупности значения, которые имеет Пи в разных областях науки, чобы увидеть картину целиком. Но, я полагаю, до окончательного ответа на вопрос дискуссии ещё шагать и шагать...
На мой взгляд, "чистые" математики не имеют под ногами физической реальности - им всё равно значение того или иного математического факта применительно к окружающей действительности, хотя если бы это было не так, давно было бы открыто много чего интересного, что не открыто и по сей день.
Пифагор совмещал как раз те качества учёного, который не закрывался в колбе, не изолировал себя от мира в узкоспециализированной научной области, не чурался мистических идей, а наоборот пытался объединить знания из разных областей (нынешняя синергетика) и увидеть картину мира вцелом. Не отрывайте математику от физики, ибо математика способна описать реальность многих миров (в том числе и самых фантастических), но живём- то мы с вами только в одном!..

Не волнуйтесь, я не фрик, просто я как и любой нормальный человек склонен к любопытству, только оно проявляется у меня в несколько иной форме. Приношу извинения за лирику и некоторый уход от темы.

С уважением, Nikolay1985

[serega57]

А точнее ссылку нельзя дать. Год издания? Еще лучше пару строчек скопировать. Такая формула дает 9 точных цифр на использованные 12. Слишком точно для времен рукописи и глазомерных измерений.
Garik2
Уважаемый Garik2 да будет вам известно, что геометрические познания древних строителей Египетских пирамид начинались там , где заканчивались познания Евклида. И 9 точных знаков для пи это не придел . Это всего лишь первый из 7 великих ключей ведущих к семи великим тайнам .Все эти ключи созданы по образу и подобию своему .Вот почему всё во вселенной может быть выражено при помощи пи. Ибо расстояние между двумя любыми точками или длина любого произвольно заданного отрезка, всегда может быть периметром какой либо окружности . Но так как длина такого отрезка может быть от 0 до бесконечности следовательно любое числовое значение всегда может быть выражено через пи. Многие древние свешенные тексты, в том числе и Библия утверждают, что БОГ есть круг. В Библии почти все имена древних патриархов есть нечто иное , как соотношение диаметра к окружности а имя Бога первые числовые значения пи. Соотношение диаметра к окружности в книге бытия встречается более 1000 раз. Коран, древнеегипетская книга мёртвых , свешенные индийские тексты ,шумерские тексты также изобилуют значением пи но разумеется в сакральном виде. ЗНАЧЕНИЕ ПИ являлось самым свешенным и сакральным и поэтому оно тщательно оберегалось и хранилось втайне от непосвешёных. Из всех великих древних математиков и философов кто, был, допущен к этому посвешению был Пифагор. Однако и он не имел права раскрывать эту великую тайну, в сакральном виде в его трудах это есть. Для непосвещёных профанов считается что в первые точное значение 3,14 человечество узнало благодаря Архимеду. За тысячи лет до него то что знали о пи великие посвещёные иерофанты . Современная математика незнает и малой толики того. Об этом значении говорится. Истинная квадратура круга, может быть открыта, лишь при самом высочайшем посвешении при достижении адептом наивысшей точки порога паранирваны. А что касается года издания или пары строчек скопировать пожалуйста. В начали сотворил Бог небо и землю. Но это вам мало что даст ибо ,если подобные тексты читать только при помощи физического зрения. То истинный сакральный смысл не прочитать.Что бы читать Библию и другие свешенные тексты, нужно хорошо осознавать, как свитые отцы и провидцы используют науку об именах и числах в их буквенном числовом коде. С помощью этого кода от непосвяшенных скрывался мистический смысл Писания и в Есть такая наука ГЕМАТРИЯ, но вначале советую ознакомится с Библейской нумерологией