Система квадратных уравнений (относительно двух переменных)

[Alexander M.]

Здравствуйте.

На Муниципальном этапе Всероссийской олимпиады по математике мне подвернулась следующая система уравнений:
$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 - xy^2 +4 = 0,\\ x^2 + y^2 + 4 = 4x + 2y; \end{array} \right. $

Прошу «подопнуть» в сторону верного и оптимального способа решения системы.

Спасибо.

[venco]

Напрашивается вычесть из второго первое (два члена сокращаются).
В результате $x$ будет присутствовать в двух вариантах степени (1 и 0).
Скомбинируйте, и будет вам счастие.

[paha]

а мне кажется, что проще заметить, что второе уравнение задает окружность на плоскости и ее параметризация

$$ x=2+\cos{t},\quad y=1+\sin{t}. $$

Которую и надо подставить в первое уравнение

-- Ср дек 08, 2010 23:22:28 --

хотя, не сильно легче...

[TOTAL]

Alexander M. в сообщении #384962 писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 - xy^2 +4 = 0,\\ x^2 + y^2 + 4 = 4x + 2y; \end{array} \right. $

Прошу «подопнуть»

Перепишите в виде
$y^2=4+\left( \sqrt{x}-\frac{2}{ \sqrt{x}}\right)^2$
$(x-2)^2 + (y-1)^2=1$

[Alexander M.]

venco,
попробовал Ваш вариант, получил подстановку:
$x = \frac{2y - y^2}{y^2 - 4};$

Если её теперь подставить в любое из уравнений, получится уравнение шестой степени, причем все коэффициенты в нем будут присутствовать. У меня при подстановке во второе уравнение получилось в конечном итоге такое:
$\frac{y^6 - 2y^5 + 4y^4 - 4y^3 + 36y^2 + 64}{y^4 + 8y^2 + 16} = 0;$
Разумеется, многочлен не делится нацело.

Может я что-то делаю не так?..

TOTAL,
простите за недогадливость, и?..

Я, конечно, вижу здесь сходство между квадратами с Xом.
Можно даже выразить вот так:
$(x - 2)^2 = (\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})^2*x;$

Вы это имели ввиду?

[ewert]

Alexander M. в сообщении #385320 писал(а):

простите за недогадливость, и?..

И: из верхнего уравнения игрек не меньше чего-то, а из нижнего -- не больше чего-то...

[venco]

Alexander M. в сообщении #385320 писал(а):

venco,
попробовал Ваш вариант, получил подстановку:
$x = \frac{2y - y^2}{y^2 - 4};$

Дык, а $y^2-4$ Вам ничего не напоминает?

[Alexander M.]

venco,
конечно напоминает. Формулу сокращенного умножения «разность квадратов».
А... догадался кажись... ;)

ewert,
простите, не понял... Вы об области определения?

Из верхнего, скажем, понятно не меньше, чем четыре.

[ewert]

Alexander M. в сообщении #385337 писал(а):

Из верхнего, скажем, понятно не меньше, чем четыре.

Замечательно (правда, это не сам игрек, а его квадрат). А из нижнего -- в каких пределах он может лежать?... (особенно если учесть, что это окружность, хотя можно и без этого)

[Alexander M.]

ewert,
учитывая, что радиус окружности равен единице - в пределах от -1 до 1 (включительно).

[ewert]

Alexander M. в сообщении #385367 писал(а):

учитывая, что радиус окружности равен единице - в пределах от -1 до 1 (включительно).

Нет, там ещё и сдвиг на единичку имеется. Но всё равно: направление -- правильное.

[powerZ]

Alexander M. в сообщении #385320 писал(а):

venco,
попробовал Ваш вариант, получил подстановку:
$x = \frac{2y - y^2}{y^2 - 4};$
...
Может я что-то делаю не так?..

По моему тут не надо делить (деление то на ноль получаается), а перенести все в одну сторону, и приравнять к нулю:

$(y-2)y-x(2-y)(2+y)=0$

[Alexander M.]

ewert,
ой. Конечно же, окружность с центром в точке (2;1). Извините - туплю... :)

Игрек в этом случае, будет лежать в пределах от нуля до двух. Верно?

[ewert]

Alexander M. в сообщении #385701 писал(а):

Игрек в этом случае, будет лежать в пределах от нуля до двух. Верно?

Верно. А в сочетании с первым неравенством что получится?...

[Alexander M.]

ewert,
y = 2?

Осталось выразить x... (=