N точечных зарядов на поверхности сферы

[Droog_Andrey]

Многие из решений симметричны, поэтому совмещать можно по элементам симметрии. Например, случай $N=282$ имеет у Слона симметрию $I$. Если спроецировать все точки на икосаэдр, то $12$ точек сядут на его вершины, а ещё $30$ - на середины его рёбер, разбивая каждую грань икосаэдра на четыре равных треугольника. В каждом из этих $80$ треугольников располагается ещё по три точки:

Это решение аналогично решениям для $N=42$ и $N=122$; по-видимому, располагая в каждом из $80$ маленьких треугольников последовательно $0,1,3,6,10,15,...$ точек, мы получим целое семейство подобных решений симметрии $I$ (первые два случая $N=42$ и $N=122$ вырождены в $I_h$).


Случай $N=212$ тоже имеет симметрию $I$:

Он, судя по всему, является членом другого семейства решений, полученных размещением внутри каждой грани икосаэдра последовательно $0,1,3,6,10,15,...$ точек (при этом $N=12,32,72,132,212,312,...$; симметрия вырождается в $I_h$ для $N=12$ и $N=32$).


Случай $N=192$ (снова симметрии $I$) может быть получен из случая $N=72$; добавление новых и новых концентрических "пятиугольников", по-видимому, также даёт последовательность подобного рода решений ($N=12,72,192,372,612,...$):

Интересно, что случай $N=72$ принадлежит также предыдущему семейству решений; он был упомянут в этой ветке выше.


А случай $N=272$ имеет ещё более высокую симметрию $I_h$: $32$ точки проецируются в вершины, $60$ - в центры граней и $180$ - на рёбра (по две точки на каждое) вот этого многогранника. Таким образом, каждой его грани принадлежат $10$ точек; для $1,3,6,10,15,...$ точек получаем соответственно решения симметрии $I_h$ для $N=12,32,122,272,482,...$ (обратите внимание, мы снова получили пересечение с ранее полученными семействами для $N=32$ и $N=122$).


Похоже на то, что подобным образом можно построить дерево всех решений симметрии $I$ или $I_h$. В основании будет $N=12$, затем разветвление на $N=32$ и $N=42$ и т.д.


Если построить такие деревья для всех точечных групп симметрии, то, возможно, удастся классифицировать всё множество решений задачи Томсона. Правда, к сожалению, большинство решений имеет низкую симметрию. Например, решения для $N=123,...,131$ имеют симметрию $C_{2v},D_2,C_2,D_4,D_5,C_2,C_2,C_2,C_2$ соответственно.


R.Deyanov, судя по тому, что расчёты Слон делал 16 лет назад, на современном компьютере его программа была бы вряд ли медленнее Вашей

[Droog_Andrey]

Droog_Andrey в сообщении #383847 писал(а):

Это решение аналогично решениям для $N=42$ и $N=122$

Droog_Andrey в сообщении #383847 писал(а):

В основании будет $N=12$, затем разветвление на $N=32$ и $N=42$ и т.д.

Как оказалось, решение для $N=42$ имеет более низкую симметрию, чем $I_h$. Неожиданно!

Droog_Andrey в сообщении #383847 писал(а):

Правда, к сожалению, большинство решений имеет низкую симметрию.

Статистика для $N<133$ (согласно результатам Слона):
$C_1: N=61,...$
$C_S: N=25,33,47,79,120,...$
$C_{2v}: N=11,13,19,21,43,53,123,...$
$C_3: N=49,52,115,121,...$
$C_{3v}: N=31,...$
$D_2: N=30,34,36,56,58,64,68,82,88,92,94,106,124,...$
$D_{2d}: N=70,...$
$D_3: N=15,23,29,45,51,57,60,63,69,75,90,101,102,105,111,113,...$
$D_{3h}: N=3,5,9,20,39,41,...$
$D_4: N=126,...$
$D_{4d}: N=8,10,18,80,...$
$D_5: N=62,67,77,112,127,...$
$D_{5h}: N=7,17,27,37,42,...$
$D_6: N=104,110,...$
$D_{6d}: N=14,38,50,...$
$T: N=16,28,46,100,...$
$T_d: N=4,22,40,...$
$T_h: N=78,...$
$O: N=24,48,...$
$O_h: N=6,44,...$
$I: N=72,132,...$
$I_h: N=12,32,122,...$
Остальные значения $N<133$ дают решения с симметрией $C_2$.

Интересен случай $N=61$, для которого элементов симметрии вообще не нашлось. Любопытно, что химический элемент прометий (61 протон в ядре) как раз отличается низкой стабильностью своих изотопов.

[R.Deyanov]

ИСН в сообщении #383775 писал(а):

Дак у него уже выложены координаты (оттуда по ссылке "library of 3-d arrangements"). Вопрос - как совмещать...

sorry, на ссылку не обратил внимания. Кстати, получили они всё это еще в 1997г.! супер

по совмещению есть работа:
Андрушевский,Н.П.Жидков,Илаишвили,Щедрин. Сопоставление многоатомных молекул без априорной информации о соответствии атомов. Сб. Математические вопросы структурного анализа. Изд-воМГУ,1981г.

- ищут преобразование симметрии кот. переводит один набор в другой. Если кому интересно могу свести с одним из авторов.

-- Пн дек 06, 2010 00:18:34 --

Droog_Andrey в сообщении #383847 писал(а):

R.Deyanov, судя по тому, что расчёты Слон делал 16 лет назад, на современном компьютере его программа была бы вряд ли медленнее Вашей

ну, вообще я считаю, что они в те годы сделали всё это по-суперски.

но, если они считали на Cray - по сети это было элементарно, то это и сейчас достичь этих частот в домашних условиях невозможно(у меня стандартные 2.94Ghz)
алгоритм у них был тоже супер надежный - в т.л.м. методом монте-карло зондировалась область на меньшее значение
да, придерживаюсь принципа - ни с кем не соревноваться

[ИСН]

Droog_Andrey в сообщении #384035 писал(а):

Любопытно, что химический элемент прометий (61 протон в ядре) как раз отличается низкой стабильностью своих изотопов.

(Дивно, сколь близко мы подошли к типичным ересям цифровых фриков, в то же время вроде как оставаясь в рамках разума.)
Было бы круто (и не так уж нелепо), если бы конфигурации с чётным числом точек стабильно оказывались в каком-нибудь смысле "лучше" нечётных. Ну, типа, были бы такие маленькие осцилляции на графике U(n), если из него вычесть гладкую...
Но увы.

[Droog_Andrey]

Почему же "увы"? Обратите внимание, как много чётных $N$ среди высокосимметричных решений.

Очевидно, что к теории строения атомного ядра сабж имеет весьма отдалённое отношение, но в то же время я воздержался бы от таких грубых оценок, как "ересь" и "нелепо".

[ИСН]

Дак а что толку с той симметрии? Вот если бы вместо неё по энергии выигрыш был, хоть чуть-чуть... А ещё, если бы поверх тех осцилляций отчётливо проступали magic numbers, тогда вообще!
(Нет, ересью я сабж не называл; мы к ней близки, но пока ещё не впали)
А вчера у меня была во какая гениальная завиральная идея: похоже, что при достаточно больших числах (скажем, начиная с 20-30) картинка будет сносно описываться как покрытие сферы "почти равносторонними" треугольниками, к-рые сходятся в неких двенадцати вершинах по 5 штук, а во всех остальных - по 6. Тогда поиск глобального минимума (ну, вернее, его бассейна, а там уж можно по градиенту доползти) сводился бы к конечному перебору конфигураций. Круто?
Хрена. Проверил. Таких большинство, да, но не подавляющее - исключений тоже полно.

[Droog_Andrey]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #384563 писал(а):

Дак а что толку с той симметрии? Вот если бы вместо неё по энергии выигрыш был, хоть чуть-чуть...

Если бы стабильность атомного ядра определялась только энергией связи, то мы жили бы совсем в другом мире. Например, принципиальная возможность распада есть для всех ядер тяжелее ниобия, но реально многие из них вполне стабильны. Так что "кинетические" эффекты здесь играют далеко не последнюю роль и вполне могут зависеть от симметрии.

При любом $N$ хватает треугольников, далёких от "равносторонности". А в случае симметрии $O$ или $O_h$ при $N>6$ ещё и квадраты появляются (правда, не факт, что количество решений такой симметрии бесконечно).

[Munin]

Droog_Andrey в сообщении #384507 писал(а):

Очевидно, что к теории строения атомного ядра сабж имеет весьма отдалённое отношение, но в то же время я воздержался бы от таких грубых оценок, как "ересь" и "нелепо".

Ну, в общем, можно оценить, сколько времени в процентах протоны в ядре проводят именно в такой пространственной конфигурации, боюсь, весьма немного :-)

Droog_Andrey в сообщении #384792 писал(а):

Если бы стабильность атомного ядра определялась только энергией связи, то мы жили бы совсем в другом мире. Например, принципиальная возможность распада есть для всех ядер тяжелее ниобия, но реально многие из них вполне стабильны.

Вы не могли бы пояснить, что это за странное свойство "принципиальная возможность распада"? Возможности нет, вот они и не распадаются.

[Droog_Andrey]

(О нуклидах)

Munin в сообщении #384814 писал(а):

Ну, в общем, можно оценить, сколько времени в процентах протоны в ядре проводят именно в такой пространственной конфигурации, боюсь, весьма немного

А у протонов в ядре вообще есть пространственная конфигурация?

Munin в сообщении #384814 писал(а):

Вы не могли бы пояснить, что это за странное свойство "принципиальная возможность распада"? Возможности нет, вот они и не распадаются.

Почти для всех нуклидов (есть 90 исключений) теоретически предсказана возможность распада. Однако для многих из них либо наблюдается крайне медленный распад (как, например, для висмута-209), либо распад вообще пока не зарегистрирован экспериментально (как правило, из-за слишком больших значений периода полураспада). Такие нуклиды мы условно считаем стабильными, но говорим о том, что принципиальная возможность распада для них есть.

[Munin]

Droog_Andrey в сообщении #384830 писал(а):

А у протонов в ядре вообще есть пространственная конфигурация?

Любая точка конфигурационного пространства отвечает такой конфигурации и протонов и нейтронов. Можно брать разные интегралы, например, по всем нейтронам, по всем протонам кроме данного, или ещё как-то. Один из таких интегралов может показать просто пространственное распределение протона в ядре, само по себе, оно будет выглядеть в чём-то аналогично общеизвестным электронным орбиталям в химии (только в центре сглаженнее).

Droog_Andrey в сообщении #384830 писал(а):

Почти для всех нуклидов (есть 90 исключений) теоретически предсказана возможность распада.

Что значит "теоретически предсказана возможность распада"? Ещё раз спрашиваю. Потому что выглядит реально ситуация так: есть пара нуклидов, у каждого своя энергия связи, и скорость превращения одного в другой определяется только законом альфа- или бета-распада. Всё. Этот закон зависит только от этой пары энергий (ну, ещё от спинов), известен досконально, и никакими загадочными вещами не запрещается.

Droog_Andrey в сообщении #384830 писал(а):

Однако для многих из них либо наблюдается крайне медленный распад (как, например, для висмута-209), либо распад вообще пока не зарегистрирован экспериментально (как правило, из-за слишком больших значений периода полураспада). Такие нуклиды мы условно считаем стабильными, но говорим о том, что принципиальная возможность распада для них есть.

Во всех таких случаях низкая скорость распада обусловлена совсем другими причинами: низкой разностью энергий, возможно, нестрогими запретами по спину (зависимость от разности энергий может быть очень высокой степени или экспоненциальная, поэтому легко даёт времена жизни от миллисекунд до миллионов лет). Называть стабильными эти нуклиды нельзя, поскольку распад идёт, и уж тем более нельзя придумывать дополнительные объяснения отсутствию распада, когда вполне достаточно хорошо известных.

[Droog_Andrey]

(Снова о нуклидах)

Munin в сообщении #384849 писал(а):

Droog_Andrey в сообщении #384830 писал(а):

А у протонов в ядре вообще есть пространственная конфигурация?

Любая точка конфигурационного пространства отвечает такой конфигурации и протонов и нейтронов. Можно брать разные интегралы, например, по всем нейтронам, по всем протонам кроме данного, или ещё как-то. Один из таких интегралов может показать просто пространственное распределение протона в ядре, само по себе, оно будет выглядеть в чём-то аналогично общеизвестным электронным орбиталям в химии (только в центре сглаженнее).

Конфигурационное пространство - лишь удобная (причём не всегда) модель. К реальности она имеет примерно такое же отношение, как и траектории электронов в атоме.

Munin в сообщении #384849 писал(а):

Droog_Andrey в сообщении #384830 писал(а):

Почти для всех нуклидов (есть 90 исключений) теоретически предсказана возможность распада.

Что значит "теоретически предсказана возможность распада"? Ещё раз спрашиваю. Потому что выглядит реально ситуация так: есть пара нуклидов, у каждого своя энергия связи, и скорость превращения одного в другой определяется только законом альфа- или бета-распада. Всё. Этот закон зависит только от этой пары энергий (ну, ещё от спинов), известен досконально, и никакими загадочными вещами не запрещается.

Возможности распада ядра далеко не исчерпываются $\alpha$, $\beta^-$ и $\beta^+$-распадами, Вам ли не знать. У радия вон иногда даже $\rm{^{14}C}$ выскакивает из ядра. И спотнанное деление никто не отменял. Так что в самом общем случае теоретическая возможность распада означает, что распад не запрещён по энергии хотя бы для одного из возможных механизмов.

Munin в сообщении #384849 писал(а):

Во всех таких случаях низкая скорость распада обусловлена совсем другими причинами: низкой разностью энергий, возможно, нестрогими запретами по спину (зависимость от разности энергий может быть очень высокой степени или экспоненциальная, поэтому легко даёт времена жизни от миллисекунд до миллионов лет). Называть стабильными эти нуклиды нельзя, поскольку распад идёт, и уж тем более нельзя придумывать дополнительные объяснения отсутствию распада, когда вполне достаточно хорошо известных.

Фишка в том, что отсутствие распада нельзя доказать экспериментально. С ростом чувствительности измерений радиоактивность обнаруживают у новых и новых нуклидов. Например, тот же $\rm{^{209}Bi}$ претерпевает $\alpha$-распад с энергией около $3.14$ МэВ и периодом полураспада около $2\cdot10^{19}$ лет. А если период полураспада составляет $10^{30}$ лет или ещё выше, то ни о каком экспериментальном подтверждении и речи быть не может. Поэтому и приходится оперировать понятиями "условно стабилен", "теоретически возможен распад" и так далее.

[Munin]

Droog_Andrey в сообщении #384970 писал(а):

Конфигурационное пространство - лишь удобная (причём не всегда) модель. К реальности она имеет примерно такое же отношение, как и траектории электронов в атоме.

Да ну что вы. Это в классике можно было так думать. А в квантах оказалось, что реальность как раз и есть именно и только конфигурационное пространство, а вот наше обычное пространство к реальности имеет очень небольшое отношение.

Уравнение Шрёдингера многочастичной системы записывается и решается в конфигурационном пространстве, и все свойства квантовых состояний этой системы (симметричность, ортогональность и т. п.) относятся именно к состояниям в конфигурационном пространстве.

Droog_Andrey в сообщении #384970 писал(а):

Возможности распада ядра далеко не исчерпываются $\alpha$, $\beta^-$ и $\beta^+$-распадами, Вам ли не знать.

О да, но они основные, остальные экзотические. Даже $\beta^+$ экзотический, потому что дорожка стабильности загибается в сторону нейтронов, и при распаде и делении тяжёлых элементов протоноизбыточных ядер не получается.

Droog_Andrey в сообщении #384970 писал(а):

Так что в самом общем случае теоретическая возможность распада означает, что распад не запрещён по энергии хотя бы для одного из возможных механизмов.

Вы не услышали главного: разность энергии определяет не только возможность или невозможность распада, но и его скорость. Она может быть очень мала. И определяется однозначно.

Droog_Andrey в сообщении #384970 писал(а):

Фишка в том, что отсутствие распада нельзя доказать экспериментально.

Можно, если не ограничиваться самым примитивным пониманием. Например, можно распад стимулировать, и измерить непосредственно его энергию.

Droog_Andrey в сообщении #384970 писал(а):

Поэтому и приходится оперировать понятиями "условно стабилен", "теоретически возможен распад" и так далее.

Можно, вот только задача, которой посвящена тема, не имеет к этому ни малейшего отношения. И разумеется, условно стабилен - это совсем не то же самое, что стабилен.

[Droog_Andrey]

(И ещё немного офтопа)

Munin в сообщении #384988 писал(а):

в квантах оказалось, что реальность как раз и есть именно и только конфигурационное пространство, а вот наше обычное пространство к реальности имеет очень небольшое отношение.

Уравнение Шрёдингера многочастичной системы записывается и решается в конфигурационном пространстве, и все свойства квантовых состояний этой системы (симметричность, ортогональность и т. п.) относятся именно к состояниям в конфигурационном пространстве.

Реальность - это сами состояния и их свойства. А пространство, в котором мы их рассматриваем, - модель (избыточная). Решать уравнение можно хоть в столбик, но от этого столбик в атомном ядре не появится

Впрочем, мы с Вами на эту тему уже как-то дискутировали

Munin в сообщении #384988 писал(а):

Даже $\beta^+$ экзотический, потому что дорожка стабильности загибается в сторону нейтронов, и при распаде и делении тяжёлых элементов протоноизбыточных ядер не получается.

Зато у лёгких сплошь и рядом $\beta^+$

Munin в сообщении #384988 писал(а):

Вы не услышали главного: разность энергии определяет не только возможность или невозможность распада, но и его скорость. Она может быть очень мала. И определяется однозначно.

Ну насчёт однозначности я никак не могу согласиться, потому как теоретически предсказываемые значения периодов полураспада весьма неточны, а со спонтанным делением вообще вилы.

Munin в сообщении #384988 писал(а):

Можно, если не ограничиваться самым примитивным пониманием. Например, можно распад стимулировать, и измерить непосредственно его энергию.

Этим мы докажем наличие распада, но никак не его отсутствие

Munin в сообщении #384988 писал(а):

Можно, вот только задача, которой посвящена тема, не имеет к этому ни малейшего отношения.

Вообще-то я намекал на симметрию. Впрочем, спорить не буду, т.к. в строении атомных ядер (в особенности тяжёлых) ещё очень многое неясно.

[Munin]

Droog_Andrey в сообщении #384999 писал(а):

Реальность - это сами состояния и их свойства. А пространство, в котором мы их рассматриваем, - модель (избыточная).

Увы, не избыточная. Это было показано ещё в 20-е годы.

Droog_Andrey в сообщении #384999 писал(а):

Впрочем, мы с Вами на эту тему уже как-то дискутировали

Значит, я забыл, и стал о вас слишком хорошо думать.

Droog_Andrey в сообщении #384999 писал(а):

Ну насчёт однозначности я никак не могу согласиться, потому как теоретически предсказываемые значения периодов полураспада весьма неточны, а со спонтанным делением вообще вилы.

Если смешивать задачи принципиально разных уровней сложности, то да, "никак не можно согласиться".

Droog_Andrey в сообщении #384999 писал(а):

Этим мы докажем наличие распада, но никак не его отсутствие

Вы этим, боюсь, вообще ничего не докажете. А физики доказывают и то и другое.

Droog_Andrey в сообщении #384999 писал(а):

Вообще-то я намекал на симметрию.

Которая имеет место исключительно в той постановке задачи, которой посвящена тема, а к ядру не имеет ни малейшего отношения.

Droog_Andrey в сообщении #384999 писал(а):

Впрочем, спорить не буду, т.к. в строении атомных ядер (в особенности тяжёлых) ещё очень многое неясно.

По крайней мере ясно, что это квантовая система.

[Droog_Andrey]

(Не кипятитесь )

Munin в сообщении #385021 писал(а):

Увы, не избыточная. Это было показано ещё в 20-е годы.

Любая физическая модель, предполагающая континуум возможностей, существенно избыточна. И давайте не будем переходить на личности.

Munin в сообщении #385021 писал(а):

А физики доказывают и то и другое.

Доказали ли физики стабильность всех изотопов свинца?