2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Две последние цифры
Сообщение07.12.2010, 15:11 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Эту несложную, но красивую задачу я придумала сама только что.
Рассмотрим последовательность целых неотрицательных чисел.
Первый её член равен нулю, а каждый член, кроме первого равен степени тройки с показателем, равным предыдущему члену. Найдите две последние десятичные цифры 2010-го члена.
Удачи!

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последние цифры
Сообщение07.12.2010, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
О, там должно зациклиться очень быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последние цифры
Сообщение07.12.2010, 15:39 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
ИСН в сообщении #384615 писал(а):
О, там должно зациклиться очень быстро.

Верно. Но на чём именно?
*Я же сказала, задача очень несложная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последние цифры
Сообщение07.12.2010, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Надо считать...

-- Вт, 2010-12-07, 16:40 --

На 87.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последние цифры
Сообщение07.12.2010, 15:41 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
ИСН в сообщении #384619 писал(а):
Надо считать...

-- Вт, 2010-12-07, 16:40 --

На 87.

Молодец! :oops: :oops: :oops:

-- Вт дек 07, 2010 15:44:03 --

Весь фокус в том, что остатки при делении на 100, даваемые степенями тройки с целыми неотрицательными показателями, повторяются с периодом 20. Это несложно заметить, воспользовавшись арифметикой остатков.
Таким образом, имеем $0, 1, 3, 27, 3^{27}...$ Так как период равен 20, 27-я степень тройки дарамдаш тот же остаток на 100, что и седьмая....дальше, я думаю, понятно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последние цифры
Сообщение07.12.2010, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Тут надо поискать что-то тоже простое, но чуточку глубже. Случайно ли, что мы скатываемся к этому остатку всегда, независимо от первого члена?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последние цифры
Сообщение07.12.2010, 16:00 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
ИСН в сообщении #384625 писал(а):
Тут надо поискать что-то тоже простое, но чуточку глубже. Случайно ли, что мы скатываемся к этому остатку всегда, независимо от первого члена?

Пока не знаю, но уверена, что в математике случайностям не место.

-- Вт дек 07, 2010 16:06:29 --


Последняя цифра любой степени тройки (с ЦНП) - 1, 3, 9 или 7. А предпоследняя - вроде всегда чётна. Значит, остатки по модулю 20 - только 1, 3, 9 и 7.
1 даёт 3
3 даёт 7
7 циклится на себе (блин, нарцисс %ренов)
9 даёт 3

*ЦНП - целый неотрицательный показатель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последние цифры
Сообщение07.12.2010, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
$a_{2009}=a_{2010}=7 \mod 20$
$3^{20}=1 \mod 25$
$a_{2010}=3^7 = 12 \mod 25$

 Профиль  
                  
 
 Re: Две последние цифры
Сообщение08.12.2010, 07:03 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
ИСН писал(а):
Тут надо поискать что-то тоже простое, но чуточку глубже. Случайно ли, что мы скатываемся к этому остатку всегда, независимо от первого члена?

Если я правильно понял, то это вот эта задача:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... &t=379220&

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: nnosipov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group