Две последние цифры

[Xenia1996]

Эту несложную, но красивую задачу я придумала сама только что.
Рассмотрим последовательность целых неотрицательных чисел.
Первый её член равен нулю, а каждый член, кроме первого равен степени тройки с показателем, равным предыдущему члену. Найдите две последние десятичные цифры 2010-го члена.
Удачи!

[ИСН]

О, там должно зациклиться очень быстро.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #384615 писал(а):

О, там должно зациклиться очень быстро.

Верно. Но на чём именно?
*Я же сказала, задача очень несложная.

[ИСН]

Надо считать...

-- Вт, 2010-12-07, 16:40 --

На 87.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #384619 писал(а):

Надо считать...

-- Вт, 2010-12-07, 16:40 --

На 87.

Молодец!

-- Вт дек 07, 2010 15:44:03 --

Весь фокус в том, что остатки при делении на 100, даваемые степенями тройки с целыми неотрицательными показателями, повторяются с периодом 20. Это несложно заметить, воспользовавшись арифметикой остатков.
Таким образом, имеем $0, 1, 3, 27, 3^{27}...$ Так как период равен 20, 27-я степень тройки дарамдаш тот же остаток на 100, что и седьмая....дальше, я думаю, понятно...

[ИСН]

Тут надо поискать что-то тоже простое, но чуточку глубже. Случайно ли, что мы скатываемся к этому остатку всегда, независимо от первого члена?

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #384625 писал(а):

Тут надо поискать что-то тоже простое, но чуточку глубже. Случайно ли, что мы скатываемся к этому остатку всегда, независимо от первого члена?

Пока не знаю, но уверена, что в математике случайностям не место.

-- Вт дек 07, 2010 16:06:29 --


Последняя цифра любой степени тройки (с ЦНП) - 1, 3, 9 или 7. А предпоследняя - вроде всегда чётна. Значит, остатки по модулю 20 - только 1, 3, 9 и 7.
1 даёт 3
3 даёт 7
7 циклится на себе (блин, нарцисс %ренов)
9 даёт 3

*ЦНП - целый неотрицательный показатель.

[TOTAL]

$a_{2009}=a_{2010}=7 \mod 20$
$3^{20}=1 \mod 25$
$a_{2010}=3^7 = 12 \mod 25$

[Sonic86]

ИСН писал(а):

Тут надо поискать что-то тоже простое, но чуточку глубже. Случайно ли, что мы скатываемся к этому остатку всегда, независимо от первого члена?

Если я правильно понял, то это вот эта задача:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... &t=379220&