Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде.

[Mary_strong]

В дне цилиндрического сосуда радиусом $R$ имеется круглое отверстие радиусом $r$. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты этого уровня $h$. Жидкость идеальная.
Я решила так:
$dV=\upsilon \pi r^2dt=\sqrt{2gh}\pi r^2dt.$
С другой стороны:
$dV=-\pi R^2dh.$
Приравниваем правые части:
$\sqrt{2gh}\pi r^2dt=-\pi R^2dh,\\ \int\limits_H^h \frac{dh}{\sqrt{h}}=-\int\limits_0^t \sqrt{2g}\frac{r^2}{R^2}dt,\\ h=(\sqrt{H}-\sqrt{\frac{g}{2}}\frac{r^2}{R^2}t)^2,\\ \frac{dh}{dt}=-2(\sqrt{H}-\sqrt{\frac{g}{2}}\frac{r^2}{R^2}t)\sqrt{\frac{g}{2}}\frac{r^2}{R^2}=-\sqrt{2g}\frac{r^2}{R^2}\sqrt{h};$
В итоге: $\frac{dh}{dt}=-\frac{r^2}{R^2}\sqrt{2gh}.$
Скажите пожалуйста, верно ли решение и ответ ?

[12d3]

Много всего лишнего.
$\sqrt{2gh}\pi r^2dt=-\pi R^2dh$
Отсюда выражаете $\frac{dh}{dt}$, это будет ответ

[Mary_strong]

Ах, да !! Не заметила. Спасибо !

[Утундрий]

Нужно учесть еще "коэффициент расхода отверстия". Он порядка $0,6$ даже для идеальной жидкости.

[Mary_strong]

$\upsilon=0.6\sqrt{2gh}.$
Так ?

[Утундрий]

Mary_strong в сообщении #384130 писал(а):

$\upsilon=0.6\sqrt{2gh}.$
Так ?

Хоть ответ в итоге и получится правильным, лучше все-таки этого не делать. Для скорости вводят свой коэффициент, отличный от расходного.

Подробнее можно посмотреть например тут: http://gidravl.narod.ru/istechenie.html