В топике
http://dxdy.ru/topic38871.html решение вопроса
сводилось к следующему простому утверждению:
Если

,

, то

О! Подумал я... бинарная операция

коммутативна.
Нетрудно проверить, что и ассоциативна.
Для того, чтобы при данных

уравнение
имело
формальное решение

(ведь может статься, что

), нужно добавить символ

(который бесконечность)
и положить

для любых

.
Таким образом

является единицей операции

При этом элементом, обратным к

, является

.
Формально считаем

.
Нулем этой операции являются элементы

:

(верхние или нижние знаки берутся одновременно).
Осталось понять, что за элемент

.
Я ничего не придумал лучше, чем просто добавить его к

и рассматривать бинарную операцию

на множестве

.
Правило умножения тут такое:

Получилось, что у операции

есть три нуля:

.
Долбица умножения для нулей (они являются в точности необратимыми идемпотентами

) такая:


(

-- самый круглый ноль

).
Обратных элементов у нулей, разумеется, нет, поэтому положим

.
Итак, получилась такая алгебраическая система

,
где

-- множество,

-- бинарная операция на

,

-- единица этой операции --

,

-- множество нулей --

,

(для нулей есть своя таблица умножения)

-- инволюция

с тремя неподвижными точками

,

и

--

.
Любопытно отметить присутстие "мнимой" единицы:

.
Эта полугруппа нулей

наверняка где-то засветилась.
Кто-нибудь видел такую (подобную) алгебраическую систему?
Мне на память пришла фамилия Блох (группа Блоха поля), но, вроде, не то.
-- Сб ноя 27, 2010 17:13:32 --Кстати,

-- группа
-- Сб ноя 27, 2010 17:24:10 --интересно, если вместо

взять

, будет ли группа конечно-порожденной?
Забавно, в этой группе у каждого элемента может не быть ни одного, либо быть ровно 2 корня... и еще:

это либо

, либо

-- смотря какие ветви корня мы берем