Я тут подумал и решил, что должны выполнятся след. тождества

[Иван_85]

Я тут подумал и решил, что должны выполнятся следующие тождества:
1. $\exists x(x\in X\Rightarrow P(x)) \Longleftrightarrow \exists x(x\in X\wedge P(x))$;
2. $(\exists x(x\in X\Rightarrow P(x)) \wedge \forall x(x\in X\Rightarrow P'(x)))\Longrightarrow \exists x(x\in X\Rightarrow P(x)\wedge P'(x))$;
3. $(A\Rightarrow B)\Longleftrightarrow (A\Rightarrow B\wedge A)$.

Скажите, верны ли они и если верны то откуда их можно получить ?

[TOTAL]

Иван_85 в сообщении #383084 писал(а):

Скажите, верны ли они и если верны то откуда их можно получить ?

Приведите сначала свои попытки решить эти задачи.

[Иван_85]

Дело в том, что я не знаю как их получить(1 и 2), а записал я их как очевидные для меня. Но третье тождество можно проверить по таблицам истинности для импликации и конъюнкции. Вопрос в 1 и 2 тождестве.

[svv]

Вы знаете, что $A \Rightarrow B$ истинно всегда, кроме случая "$A$ истинно, $B$ ложно". В частности, оно истинно, если $A$ и $B$ оба ложны. Например, истинно следующее высказывание: "Вася стометрового роста $\Rightarrow$ Вася может перейти Азовское море вброд".

Теперь рассмотрите с этой точки зрения первое тождество. Пусть $X$ -- множество людей стометрового роста, а $P(x)$ означает "$x$ может перейти Азовское море вброд". Тогда, действительно, $\exists x(x\in X\Rightarrow P(x))$ истинно. Ведь такой $x$, что из $x\in X$ следует $P(x)$, существует: это, например, я и Вы (см. предыдущий абзац). Но вот $\exists x(x\in X\wedge P(x))$ ложно...

[Иван_85]

То есть первое тождество не верно ?
Но вот задачка: Пусть $f:X\to Y, A'\subset Y$, тогда
$f^{-1}(C_YA')=C_Xf^{-1}(A')$.
Мое доказательство:
$x\in f^{-1}(C_YA') \Longleftrightarrow x\in \left\{ x'\in X: f(x')\in C_YA \right\} \Longleftrightarrow \\ x\in X \wedge f(x)\in Y \wedge f(x)\notin A' \Longleftrightarrow x\in f^{-1}(Y)\wedge (x\in X \wedge f(x) \notin A')\Longleftrightarrow\\ x\in X \wedge ^{\neg}(x\in X \Rightarrow f(x)\in A')$
и теперь если первое тождество было бы верно, то далее было бы вот так:
$\Longleftrightarrow x\in X \wedge ^{\neg}(x\in X \wedge f(x)\in A') \Longleftrightarrow x\in X \wedge ^{\neg}(x\in f^{-1}(A')) \Longleftrightarrow\\ x\in X\backslash f^{-1}(A') \Longleftrightarrow x\in C_Xf^{-1}(A').$
Получается доказательство неверно ?

[svv]

Да, тождество неверно, в моем предыдущем посте я описал контрпример. Если выделить лежащую в основе тождества идею, то это будет $(Q \Rightarrow P) \Rightarrow (Q \wedge P)$. Вы согласны, что это так же "очевидно", и на что-то такое Вы опирались? Но это неверно, см. таблицы истинности.

Доказательство задачи я все-таки посмотрю.

[Иван_85]

Вроде понял как доказать:
$... \Longleftrightarrow x\in X \wedge ^{\neg}(x\in X \Rightarrow f(x)\in A')\Longleftrightarrow\\ x\in X \wedge x\in X \wedge^{\neg} (x\in X \wedge f(x)\in A') \Longleftrightarrow\\ x\in X \wedge^{\neg}(x\in f^{-1}(A'))\Longleftrightarrow x\in X \wedge x\notin f^{-1}(A')\Longleftrightarrow x\in C_Xf^{-1}(A').$
svv, а что Вы можете сказать про второе тождество (или "тождество")?

[svv]

Второе тождество кажется правильным. В нем Вы нигде не совершаете некорректный переход от "если $x$ принадлежит $X$..." к "существует $x$, который принадлежит $X$".
Только, заметьте, оно останется верным, даже если ни один $x$ не принадлежит $X$. Таковы уж свойства импликации.