Оптимальная остановка

[Gortaur]

Добрый день, помогите пожалуйста придумать пример. Есть процесс Ито (диффузия) вида

$$ dX_t = \mu(X_t)dt+\sigma(X_t)dw_t, \quad X_0 = x. $$

И функция $h(x) = x^2$. Нужно придумать пример, чтобы задача оптимальной остановки

$$ V(x) = \sup\limits_\tau \mathbb{E}_x[h(X_\tau)] $$

решалась аналитически. Т.к. процесс однородный марковский, то можно это переформулировать в задачу с подвижной границей в $\mathbb{R}$. Считаем генератор процесса $X$, полчаем

$$ Lf(x) = \mu(x)f'(x)+\frac{1}{2}\sigma^2(x)f''(x). $$

То есть нужно решить следующую задачу:
$LV(x) = 0$ на $C\in\mathbb{R}$, $V(x) = h(x)$ на $D = \mathbb{R}\setminus C$.

Я беру устойчивый процесс $dX_t = -\alpha X_t dt +\sigma X_t dw_t$, где $\alpha >0$. По симуляциям очень хорошо видно, что процесс сходится к нулю довольно быстро (при $t=X_0$ обычно очень близко к нулю при $\alpha = 1$).

Так как мы хотим получить значение $h(X_\tau)$ чем больше, тем лучше - значит пока значение квадрата большое, надо остановится, так что я ищу множество $D$ в виде $x\in(-\infty,a]\cup[b,+\infty)$. В итоге у меня получается, что я сначала решаю
$LV(x) = 0$ на неизвестном промежутке $[a,b]$, получаю общее решение с двумя неизвестными $c_1,c_2$ (решение этой задачи легко получить аналитически, хоть там и противные функции).

Потом я накладываю условия гладкости и непрерывности в точках $a$ и $b$ - итого 4 условия на 4 неизвестных, и должно получиться нормальное решение. Здесь я уже могу решать только численно - и в ответ всегда получаю, что $a=b=0$. И это для очень многих типов процессов, которые я рассматривал, не только $dX_t = -\alpha X_t dt +\sigma X_t dw_t$.

Вопрос собственно такой:
1. у меня получается, что квадрат любого процесса Ито нужно сразу останавливать (что скорее всего ошибка)
2. в чем тогда заключается ошибка
3. какой пример придумать, чтобы задача хорошо решалась (единственное условие - $h(x) = x^2$ и что процесс $X$ -диффузия = процесс Ито).

[Хорхе]

3. Это запросто. Если $2x\mu(x)+\sigma^2(x)>0$ для всех $x$, то останавливаться вообще не надо.

Тут, кстати, и ответ на 1. На 2 ответить, к сожалению, не могу, так как не вижу рассуждений, где надо искать ошибку.

[Gortaur]

Спасибо за совет, но вопрос был как раз в том, чтобы пример был нетривиальный - не супер и не суб мартингал.

[Хорхе]

Ну, про суб- и про супермартингал это Вы только что написали, до этого не было. Будет время -- подумаю.